Vzorce a vzťahy

Všetky dôležité vzorce a vzťahy nevyhnutné k správnemu postupu pri riešení matematických úloh sme rozdelili do dvoch podkategórií, a to: stredoškolská matematika a vysokoškolská matematika. Ak by Ste pri hľadaní vhodného vzorca alebo vlastnosti neuspeli, dajte nám vedieť. Radi a ochotne Vám s tým pomôžeme.

stredoškolská matematika:

analytická geometria v priestore

VZDIALENOSTI

Vzdialenosť dvoch bodov \(P_1[x_1,y_1,z_1]\) a \(P_2[x_2,y_2,z_2]\) vypočítame ako

\[d=|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.\]

Vzdialenosť bodu \(P[x_0,y_0,z_0]\) od roviny \(\alpha:ax+by+cz+d=0\) vypočítame ako

\[d=\left|P\alpha\right|=\frac{\left|ax_0+by_0+cz_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.\]

UHOL PRIAMOK A ROVÍN

Uhol \(\varphi\) priamok \(p_1:X=A+k.\vec{a}\) a \(p_2:X=B+k.\vec{b}\) určíme zo vzťahu

\[\cos\varphi=\frac{|\vec{a}.\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}.\]

Uhol \(\varphi\) rovín \(\alpha:a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\) a \(\beta:a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\) určíme zo vzťahu

\[\cos\varphi=\frac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.\]

Uhol \(\varphi\) priamky \(p:X=A+k.\vec{a}\) a roviny \(\alpha:X.\vec{n}+d=0\) určíme zo vzťahu

\[\sin\varphi=\frac{|\vec{a}.\vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}.\]
analytická geometria v rovine

VZDIALENOSTI

Vzdialenosť dvoch bodov \(P_1[x_1,y_1]\) a \(P_2[x_2,y_2]\) vypočítame ako

\[d=|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.\]

Vzdialenosť rovnobežných priamok \(p_1:ax+by+c_1=0\) a \(p_2:ax+by+c_2=0\) vypočítame ako

\[d=\left|p_1p_2\right|=\frac{\left|c_1-c_2\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Vzdialenosť bodu \(P[x_0,y_0]\) od priamky \(p:ax+by+c=0\) vypočítame ako

\[d=\left|Pp\right|=\frac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

ROVNOBEŽNOSŤ A KOLMOSŤ PRIAMOK

Priamky \(p_1:y=k_1x+q_1\) a \(p_2:y=k_2x+q_2\) sú rovnobežné práve vtedy, keď \(m_1=m_2\).

Priamky \(p_1:a_1x+b_1y+c_1=0\) a \(p_1:a_2x+b_2y+c_2=0\) sú rovnobežné práve vtedy, keď \(a_1b_2=a_2b_1\).

Priamky \(p_1:y=k_1x+q_1\) a \(p_2:y=k_2x+q_2\) sú kolmé práve vtedy, keď \(m_1m_2=-1\).

Priamky \(p_1:a_1x+b_1y+c_1=0\) a \(p_1:a_2x+b_2y+c_2=0\) sú kolmé práve vtedy, keď \(a_1a_2+b_1b_2=0\).

UHOL PRIAMOK

Uhol \(\varphi\) priamok \(p_1:y=k_1x+q_1\) a \(p_2:y=k_2x+q_2\) určíme zo vzťahu

\[\hbox{tg}\,\varphi=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|\hbox { pre } 1+k_1k_2\neq 0,\hbox{ inak }\varphi=\pm 90^{\circ}.\]

Uhol \(\varphi\) priamok \(p_1:a_1x+b_1y+c_1=0\) a \(p_1:a_2x+b_2y+c_2=0\) určíme zo vzťahu

\[\hbox{tg}\,\varphi=\left|\frac{a_1b_2-a_2b_1}{a_1a_2+b_1b_2}\right|\hbox { pre } a_1a_2+b_1b_2\neq 0,\hbox{ inak }\varphi=\pm 90^{\circ}.\]

Súradnice stredu \(S=[x_S,y_S]\) úsečky s koncovými bodmi \(P_1[x_1,y_1]\) a \(P_2[x_2,y_2]\) vypočítame ako

\[x_S=\frac{x_1+x_2}{2};\;\;y_S=\frac{y_1+y_2}{2}.\]
diferenciálny počet

DERIVOVANIE ELEMENTÁRNYCH FUNKCIÍ

\[[c]^{\prime}=0;\;\;[x]^{\prime}=1;\;\;[x^n]^{\prime}=n.x^{n-1};\]

\[[e^x]^{\prime}=e^x;\;\;[a^x]^{\prime}=a^x.\ln a;\]

\[[\ln x]^{\prime}=\frac{1}{x};\;\;[\log_a x]^{\prime}=\frac{1}{x.\ln a};\]

\[[\sin x]^{\prime}=\cos x;\;\;[\cos x]^{\prime}=-\sin x;\]

\[[\hbox{tg}\,x]^{\prime}=\frac{1}{\cos^2x};\;\;[\hbox{cotg}\,x]^{\prime}=-\frac{1}{\sin^2x};\]

\[[\arcsin x]^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}};\;\;[\arccos x]^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}};\]

\[[\hbox{arctg}\, x]^{\prime}=\frac{1}{1+x^2};\;\;[\hbox{arccotg}\, x]^{\prime}=-\frac{1}{1+x^2};\]

ZÁKLADNÉ PRAVIDLÁ DERIVOVANIA

\[[C.f(x)]^{\prime}=C.f^{\prime}(x);\]

\[[f(x)\pm g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x)\pm g^{\prime}(x) ;\]

\[[f(x). g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x).g(x)+f(x).g^{\prime}(x) ;\]

\[\left[\frac{f(x)}{ g(x)}\right]^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x).g(x)-f(x).g^{\prime}(x)}{g^2(x)} ;\]

\[\left[f(g(x))\right]^{\prime}=f^{\prime}(g(x)).g^{\prime}(x) ;\]
integrálny počet

INTEGROVANIE ELEMENTÁRNYCH FUNKCIÍ

\[\int dx=x+C;\;\;\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C;\]

\[\int \sin xdx=-\cos x+C;\;\;\int \cos x dx=\sin x+C;\]

\[\int \hbox{tg}\,xdx=-\ln|\cos x|+C;\;\;\int \hbox{cotg}\,xdx=\ln|\sin x|+C;\]

\[\int \frac{1}{\cos^2 x}dx=\hbox{tg}\,x+C;\;\;\int \frac{1}{\sin^2 x}dx=-\hbox{cotg}\,x+C;\]

\[\int \frac{dx}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\hbox{arctg}\,\frac{x}{a}+C;\;\;\int \frac{dx}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C;\]

\[\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C;\;\;\int e^xdx=e^x+C;\]

\[\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C;\;\;\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C;\]

\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2+k}\right|+C;\;\;\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C;\]

VLASTNOSTI NEURČITÉHO INTEGRÁLU

\[\int \left[f(x)\pm g(x)\right]dx=\int f(x) dx\pm\int g(x) dx;\;\;\int [k.f(x)]dx=k.\int f(x)dx;\]

INTEGROVANIE PO ČASTIACH (PER PARTES)

\[\int f(x).g^{\prime}(x)dx= f(x).g(x)-\int f^{\prime}(x).g(x) dx\]
kombinatorika

FAKTORIÁL A BINOMICKÉ KOEFICIENTY

\[0!=1;\;\;n!=n.(n-1)\dots 2.1\hbox{ pre }n\in\mathbb{N};\]

\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\hbox{ pre }n,k\in\mathbb{N};\]

\[\binom{n}{k}=0\hbox{ pre }n\lt k;\;\;\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1;\;\;\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k};\]

\[\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k};\;\;\binom{n}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom{n}{k};\]

\[\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\dots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}=2^n;\]

BINOMICKÝ VZOREC

- pre \(a,b\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}\):

\[(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\dots+\binom{n}{n-1}ab^{n-1}+\binom{n}{n}b^{n}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k;\]

\[(a\pm b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}(\pm b)^k;\;\;a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1} b^k;\]

VARIÁCIE

Počet variácií \(k\) - tej triedy bez opakovania prvkov \(n\) - prvkovej množiny je

\[V(k,n)=\frac{n!}{(n-k)!}.\]

Počet variácií \(k\) - tej triedy s opakovaním prvkov \(n\) - prvkovej množiny je

\[V^{'}(k,n)=n^k.\]

PERMUTÁCIE

Počet permutácií bez opakovania prvkov \(n\) - prvkovej množiny je

\[P(n)=n!.\]

Počet permutácií s opakovaním prvkov \(n\) - prvkovej množiny je

\[P^{'}_{n_1,\dots,n_k}(n)=\frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_k!},\]

kde \(n_i\) je počet rovnakých prvkov \(i\) - teho druhu pre \(i\in\{1,\dots,k\}\) a platí \(n_1+n_2+\dots+n_k=n.\)

KOMBINÁCIE

Počet kombinácií \(k\) - tej triedy bez opakovania prvkov \(n\) - prvkovej množiny je

\[C(k,n)=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.\]

Počet kombinácií \(k\) - tej triedy s opakovaním prvkov \(n\) - prvkovej množiny je
\[C^{'}(k,n)=\binom{n+k-1}{k}.\]
komplexné čísla

OPERÁCIE S KOMPLEXNÝMI ČÍSLAMI

- pre \(a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}\):

Rovnakosť čísel \(z_1=a_1+ib_1\) a \(z_2=a_2+ib_2\):

\[z_1=z_2 \Leftrightarrow [a_1=a_2 \wedge b_1=b_2];\]

Súčet a rozdiel čísel \(z_1=a_1+ib_1\) a \(z_2=a_2+ib_2\):

\[z_1+ z_2=(a_1+ a_2)+i(b_1+ b_2);\]

\[z_1- z_2=(a_1- a_2)+i(b_1- b_2);\]

Súčin čísel \(z_1=a_1+ib_1\) a \(z_2=a_2+ib_2\):

\[z_1. z_2=(a_1. a_2-b_1.b_2)+i(a_1. b_2+a_2.b_1);\]

Podiel čísel \(z_1=a_1+ib_1\) a \(z_2=a_2+ib_2\), kde \(z_2\neq 0\):

\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1.a_2+b_1.b_2}{a_2^2+b_2^2}+i\frac{a_2. b_1-a_1.b_2}{a_2^2+b_2^2};\]

ALGEBRAICKÝ A GONIOMETRICKÝ TVAR KOMPLEXNÉHO ČÍSLA

Algebraickým tvarom \(z\in\mathbb{C}\) je tvar \(z=a+ib\), kde \(a,b\in\mathbb{R}\).

Goniometrickým tvarom \(z=a+ib\in\mathbb{C}\) je tvar \(z=\left|z\right|(\cos \varphi+i\sin \varphi)\), kde \[\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2};\;\; \cos \varphi=\frac{a}{\left|z\right|};\;\; \sin \varphi=\frac{b}{\left|z\right|}\].

Ak \(z_1=\left|z_1\right|(\cos \varphi_1+i\sin \varphi_1)\) a \(z_2=\left|z_2\right|(\cos \varphi_2+i\sin \varphi_2)\), tak:

\[z_1.z_2=\left|z_1\right|\left|z_2\right|\left(\cos (\varphi_1+\varphi_2)+i\sin (\varphi_1+\varphi_2)\right)\]

\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\left(\cos (\varphi_1-\varphi_2)+i\sin (\varphi_1-\varphi_2)\right)\]

MOCNINY A ODMOCNINY KOMPLEXNÉHO ČÍSLA

Nech \(z=\left|z\right|(\cos \varphi+i\sin \varphi)\) a \(n\in\mathbb{Z}\). Potom na základe Moivrovho vzorca platí: \[z^n=\left|z\right|^n\left(\cos n\varphi+i\sin n\varphi\right);\]

\[\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\left|z\right|}\left(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n}\right),\]

kde \(k=0,1,\dots,n-1\).
kužeľosečky

KRUŽNICA

Kružnica so stredom \(S[m,n]\) a polomerom \(r\) má stredový tvar \[k:(x-m)^2+(y-n)^2=r^2.\].

Dotyčnica ku kružnici \(k:(x-m)^2+(y-n)^2=r^2\) vedená dotykovým bodom \(T[x_0,y_0]\) má tvar \[t:(x-m).(x_0-m)+(y-n).(y_0-n)=r^2.\]

ELIPSA

Elipsa so stredom \(S[m,n]\), dĺžkami poloosí \(a\) a \(b\) má stredový tvar \[E:\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1\hbox{ ak hlavná os je rovnobežná s }o_x\]

\[E:\frac{(x-m)^2}{b^2}+\frac{(y-n)^2}{a^2}=1\hbox{ ak hlavná os je rovnobežná s }o_y\]

Dotyčnica k elipse \(E:\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1\) vedená dotykovým bodom \(T[x_0,y_0]\) má tvar \[t:\frac{(x-m).(x_0-m)}{a^2}+\frac{(y-n).(y_0-n)}{b^2}=1.\]

Excentricita \(e=\sqrt{a^2-b^2}\) je vzdialenosť ohnísk \(F_1\), \(F_2\) ležiacich na hlavnej osi od stredu elipsy \(S[m,n]\).

HYPERBOLA

Hyperbola so stredom \(S[m,n]\), dĺžkami poloosí \(a\) a \(b\) má stredový tvar \[H:\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1\hbox{ ak hlavná os je rovnobežná s }o_x\]

\[H:\frac{(x-m)^2}{b^2}-\frac{(y-n)^2}{a^2}=1\hbox{ ak hlavná os je rovnobežná s }o_y\]

Dotyčnica k hyperbole \(H:\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1\) vedená dotykovým bodom \(T[x_0,y_0]\) má tvar \[t:\frac{(x-m).(x_0-m)}{a^2}-\frac{(y-n).(y_0-n)}{b^2}=1.\]

Excentricita \(e=\sqrt{a^2+b^2}\) je vzdialenosť ohnísk \(F_1\), \(F_2\) ležiacich na hlavnej osi od stredu hyperboly \(S[m,n]\).

PARABOLA

Parabola so stredom \(S[m,n]\) a s vzdialenosťou \(p\) medzi ohniskom \(F\) a riadiacou priamkou má stredový tvar

\[P:(x-m)^2=2p(y-n)\hbox{ ak hlavná os je rovnobežná s }o_y\]

\[P:(y-n)^2=2p(x-m)\hbox{ ak hlavná os je rovnobežná s }o_x\]

Dotyčnica k parabole \(P:(x-m)^2=2p(y-n)\) vedená dotykovým bodom \(T[x_0,y_0]\) má tvar \[t:(x-m).(x_0-m)=2p[(y-n)+(y_0-n)].\]
kvadratická funkcia, rovnica, nerovnica

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare \(ax^2+bx+c=0,\;a,b,c\in \mathbb{R},\;a\neq 0\).

DISKRIMINANT A KORENE

Diskriminant \(D=b^2-4ac\) je dôležitý ukazovateľ počtu reálnych riešení kvadratickej rovnice.

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\;\hbox{ ak } D\gt 0\]

\[x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\;\hbox{ ak } D=0\]

\[x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\;\hbox{ ak } D\lt 0\]

Ak \(x_1,\,x_2\) sú korene kvadratickej rovnice \(ax^2+bx+c=0\), tak rovnicu môžeme prepísať na súčinný tvar \(a(x-x_1)(x-x_2)=0\).

ÚPRAVA NA TVAR ŠTVORCA

Kvadratickú rovnicu \(x^2\pm px\pm q=0\) vieme vždy upraviť na tvar štvorca

\[\left(x\pm\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2 \pm q=0.\]

VRCHOL PARABOLY

Z kvadratickej rovnice \(ax^2+bx+c=0\) upravenej na tvar štvorca

\[a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}=0\]

určíme súradnice vrcholu paraboly \[V\left[-\frac{b}{2a},\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\right].\]
lineárna lomená funkcia

Lineárnou lomenou funkciou je každá funkcia daná rovnicou \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\), kde \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\), \(c\neq 0\) a \(bc\neq ad\). Ak \(c= 0\), tak je to lineárna funkcia a ak \(bc=ad\), tak je to konštantná funkcia. Definičným oborom je \(\mathbb{R}-\left\{-\frac{d}{c}\right\}\). Grafom lineárnej lomenej funkcie je hyperbola, ktorej jednotlivé posuny vieme zistiť, a to prepísaním funkcie do tvaru \(y=y_0+\frac{k}{x-x_0}\).
logaritmická funkcia, rovnica a nerovnica
Logaritmickú funkciu \(y=\log_a x\) definujeme pre \(a\in\mathbb{R}^+-\{1\}\), \(x\in\mathbb{R}^+\). Špeciálnymi logaritmami sú:
- dekadický logaritmus \(\log x\) má základ \(10\);
- prirodzený logaritmus \(\ln x\) má základ \(e=2,718\dots\).
Vzorce pre \(a\in\mathbb{R}^+-\{1\}\); \(b,x,y\in\mathbb{R}^+\); \(m\in\mathbb{R}\): \[\log_aa=1\] \[\log_aa^m=m\] \[\log_a1=0\] \[\log_a (xy)=\log_ax+\log_ay\] \[\log_a \left(\frac{x}{y}\right)=\log_ax-\log_ay\] \[\log_ab=\frac{1}{\log_ba}, \hbox{ pre }b\not=1\] \[\log_bx=\frac{\log_ax}{\log_ab}, \hbox{ pre }b\not=1\] \[\log_ax^m=m.\log_ax\] \[a^{\log_a x}=x\]
matematická logika
množiny
mocninová funkcia, rovnica a nerovnica

\[a^1=a\] \[a^0=1\hbox { pre }a\not=0\] \[0^m=0\hbox { pre }m\not=0\] \[ 0^0\hbox{ nie je definované }\] \[ a^m.a^n=a^{m+n}\] \[\left(a^m\right)^n=\left(a^n\right)^m=a^{m.n}\] \[(ab)^m=a^m.b^m\] \[a^{-m}=\frac{1}{a^m}\] \[\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\] \[\frac{a^m}{b^m}=\left(\frac{a}{b}\right)^m\]
polyédre
polynómy s jednou premennou
postupnosti a rady
pravdepodobnosť a štatistika
pravidelný mnohouholník
reálna funkcia reálnej premennej
rotačné telesá
štvoruholník
trigonometria

ZÁKLADNÉ IDENTITY

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1;\;\;\hbox{tg}\,\alpha.\hbox{cotg}\,\alpha=1;\]

\[\hbox{tg}\,\alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha};\;\;\hbox{cotg}\,\alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha};\]

\[\cos^2\alpha=\frac{\hbox{cotg}^2\,\alpha}{1+\hbox{cotg}^2\,\alpha};\;\;\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\hbox{tg}^2\,\alpha};\]

\[\sin^2\alpha=\frac{1}{1+\hbox{cotg}^2\,\alpha};\;\;\sin^2\alpha=\frac{\hbox{tg}^2\,\alpha}{1+\hbox{tg}^2\,\alpha}.\]

ADIČNÉ VZORCE

\[\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha.\cos\beta\pm\cos\alpha.\sin\beta;\;\;\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha.\cos\beta\mp\sin\alpha.\sin\beta;\]

\[\hbox{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\frac{\hbox{tg}\,\alpha\pm\hbox{tg}\,\beta}{1\mp\hbox{tg}\,\alpha.\hbox{tg}\,\beta};\;\;\hbox{cotg}\,(\alpha\pm\beta)=\frac{\hbox{cotg}\,\alpha.\hbox{cotg}\,\beta\mp 1}{\hbox{cotg}\,\beta\pm\hbox{cotg}\,\alpha}.\]

TRANSFORMAČNÉ VZORCE

\[\sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cos\frac{\alpha\mp\beta}{2};\;\;\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2};\]

\[\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2};\;\;\hbox{tg}\,\alpha\pm\hbox{tg}\,\beta=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha.\cos\beta};\]

\[\hbox{cotg}\,\alpha\pm\hbox{cotg}\,\beta=\frac{\sin(\beta\pm\alpha)}{\sin\alpha.\sin\beta};\;\;\sin\alpha.\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)];\]

\[\sin\alpha.\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)];\;\;\cos\alpha.\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)].\]

DVOJNÁSOBNÉ A POLOVIČNÉ UHLY

\[\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha;\;\;\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha;\]

\[\hbox{tg}\,2\alpha=\frac{2\hbox{tg}\,\alpha}{1-\hbox{tg}^2\,\alpha};\;\;\hbox{cotg}\,2\alpha=\frac{\hbox{cotg}^2\,\alpha-1}{2\hbox{cotg}\,\alpha};\]

\[\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}};\;\;\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}};\]

\[\hbox{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}};\;\;\hbox{cotg}\,\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}.\]
trojuholník