Diferenciálna rovnica so separovanými  premennými

Diferenciálna rovnica 1.rádu so separovanými premennými (skrátene DRS) je rovnica \[p(x)+q(y)y^{\prime}=0,\quad\quad\quad(1)\]kde \(p(x)\) a \(q(y)\) sú funkcie. Častokrát ju zapisujeme aj v tvare \[p(x)dx+q(y)dy=0.\]

Ak je funkcia \(p(x)\) spojitá na intervale \(I\) a funkcia \(q(x)\) spojitá na intervale \(J\), potom každé riešenie diferenciálnej rovnice \((1)\) na intervale \(I_1\subset I\) má tvar \[\int p(x)dx+\int q(y)dy=C,\quad\quad\quad(2)\]kde \(C\) je ľubovoľná reálna konštanta. Navyše, každá diferencovateľná funkcia na intervale \(I_1\subset I\), ktorá je  implicitne určená vzťahom \((2)\), je riešením diferenciálnej rovnice \((1)\) na intervale \(I_1\). Špeciálnym prípadom diferenciálnej rovnice \((1)\) je diferenciálna rovnica \[y^{\prime}=f(x),\,x\in I,\quad\quad\quad(3)\]a každé riešenie takejto diferenciálnej rovnice \((3)\) na intervale \(I\) je v tvare  \[y=\int f(x)dx+C,\]kde \(C\) je ľubovoľná reálna konštanta.