Homogénna diferenciálna rovnica

Nech pre neprázdnu množinu \(M\subset \mathbb{E}^n\) platí: Ak \(X=(x_1,\dots,x_n)\in M\), potom aj \(Y=(tx_1,\dots,tx_n)\in M\), kde \(t\in\mathbb{R}^+\). Funkcia viac premenných \(F\) je homogénna funkcia \(k\)-teho stupňa na množine \(M\), ak platí: \[F(tx_1,\dots,tx_n)=t^kF(x_1,\dots,x_n)\quad\quad\quad (1)\]pre každé \(t\in\mathbb{R}^+\) a pre každý bod \(X=(x_1,\dots,x_n)\in M\).

Homogénna diferenciálna rovnica 1. rádu (skrátene HDR) je rovnica \[p(x,y)+q(x,y)y^{\prime}=0,\quad\quad\quad\quad\quad (2)\]kde \(p(x,y)\) a \(q(x,y)\) sú homogénne funkcie dvoch premenných rovnakého stupňa s oborom definície \(\varOmega\). Ak \(q(x,y)\neq 0\) pre každé \((x,y)\in\varOmega\) a \(x\neq 0\), potom homogénnu diferenciálnu rovnicu \((2)\) môžeme prepísať na tvar  \(\displaystyle y^{\prime}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)\). To nám umožňuje zámennou premenných \(y=xu\) previesť  diferenciálnu rovnicu \((2)\) na separovateľnú diferenciálnu rovnicu \[p(1,u)+q(1,u)u+xq(1,u)u^{\prime}=0.\quad\quad\quad (3)\]

Vlastnosť HDR:

Uvažujme diferenciálnu rovnicu \[y^{\prime}=f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right),\quad\quad\quad (4)\]kde  \(a_1b_2\neq a_2b_1\) a funkcia \(f\) je spojitá na intervale \(J\). Substitúciami premenných \[x=u+\alpha,\]\[y=v+\beta,\] kde \((x,y)^T=(\alpha,\beta)^T\) je riešením sústavy lineárnych rovníc \[a_1x+b_1y+c_1=0,\quad\quad\quad (5)\]\[a_2x+b_2y+c_2=0,\quad\quad\quad (6)\] prevedieme diferenciálnu rovnicu \((4)\) na homogénnu diferenciálnu rovnicu 1.rádu  \[y^{\prime}=f\left(\frac{a_1u+b_1v}{a_2u+b_2v}\right).\]Podmienka \(a_1b_2\neq a_2b_1\) nám zabezpečuje existenciu práve jedného riešenia zmienenej sústavy lineárnych rovníc \((5)\) a \((6)\).