Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu

Nech \(f(x)\), \(a_i(x)\) pre \(i=0,\dots,n\) sú spojité funkcie na intervale \(J\) a \(a_0(x)\neq 0\) pre všetky \(x\in J\). Lineárna diferenciálna rovnica \(n\)-tého rádu je rovnica \[a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\dots+a_n(x)y=f(x). \;\;\;\;\;\;\; (1)\] Ak \(f(x)=0\), tak diferenciálna rovnica tvaru \[a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\dots+a_n(x)y=0 \;\;\;\;\;\;\;\; (2)\] je   lineárna diferenciálna rovnica \(n\)-tého rádu alebo lineárna diferenciálna rovnica \(n\)-tého rádu bez pravej strany. 

Lineárna závislosť a nezávislosť

Reálne, resp. komplexné funkcie reálnej premennej \(f_1,\dots,f_k\) definované na intervale \(J\) sú lineárne závislé na intervale \(J\), ak existuje taká nenulová \(k\)-tica reálnych, resp. komplexných čísel \((c_1,\dots,c_k)\), takých že pre každé \(x\in J\) platí:
\[c_1f_1(x)+\dots+c_kf_k(x)=0.\]Funkcie \(f_1,\dots,f_k\) sú na intervale \(J\) lineárne nezávislé, ak nie sú na intervale \(J\)  lineárne závislé. Pokiaľ funkcie \(f_1,\dots,f_k\) majú na intervale \(J\) derivácie \(k\)-tého rádu, tak môžeme definovať Wronského determinant funkcií (wronskián) \(f_1,\dots,f_k\) v tvare
\[W(f_1,\dots,f_k)=\begin{vmatrix}f_1(x),& f_2(x),&\dots, & f_k(x)\\f_1^{'}(x),& f_2^{'}(x),&\dots, & f_k^{'}(x)\\
\dots& \dots&\dots & \dots\\f_1^{(k-1)}(x),& f_2^{(k-1)}(x),&\dots, & f_k^{(k-1)}(x)\end{vmatrix}\]

Nutná podmienka LZ, resp. postačujúca podmienka LN:
Ak sú funkcie \(f_1,\dots,f_k\) na intervale \(J\) lineárne závislé, tak \(W(f_1,\dots,f_k)=0\) pre každé \(x\in J\). Ak sa teda \(W(f_1,\dots,f_k)\) nerovná nule aspoň v jednom čísle intervalu \(J\), tak sú funkcie \(f_1,\dots,f_k\) lineárne nezávislé na \(J\).

Nech \(y_1,\dots,y_k\) sú riešenia diferenciálnej rovnice \((2)\). Potom každá ich lineárna kombinácia je riešením diferenciálnej rovnice \((2)\), a ak \(k>n\), tak sú tieto riešenia lineárne závislé. 

Fundamentálny systém riešení diferenciálnej rovnice \((2)\)  je systém \(n\) lineárne nezávislých riešení diferenciálnej rovnice \((2)\) a označujeme ho  \(\hbox{F.S.R.}\)

Nech \(y_1,\dots,y_n\) je fundamentálny systém riešení diferenciálnej rovnice \((2)\). Potom každé riešenie diferenciálnej rovnice \((2)\) sa dá napísať ako vhodná kombinácia riešení z tohto fundamentálneho systému.

Všeobecným riešením  diferenciálnej rovnice \((2)\) je funkcia  premených \(x,c_1,\dots,c_n\) v tvare \[y=c_1y_1(x)+\dots+c_ny_n(x),\quad c_1,\dots,c_n\in\mathbb{R}.\]

Postup pri riešení diferenciálnej rovnice \((1)\):

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice \((1)\) na intervale \(J\) je súčet jeho ľubovoľného riešenia a všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice \((2)\). Celkový postup pozostáva z troch krokov, a to:

1. Riešime diferenciálnu rovnicu \((2)\) t.j.
   • určíme \(\hbox{F.S.R.}=\{y_1(x),\dots,y_n(x)\}\) diferenciálnej rovnice \((2)\),
   • nájdeme všeobecné riešenie v tvare \[y=c_1y_1(x)+\dots+c_ny_n(x).\]
2. Nájdeme jedno riešenie rovnice \((1)\) a označíme ho ako \(y^{*}\). Možnosti výpočtu  \(y^{*}\) sú:
   • pre špeciálne tvary \(f(x)\)  sú špecifikované tvary \(y^{*}\) bez integrovania,
   • pre ľubovoľný tvar \(f(x)\) môžeme použiť Lagrangeovu metódu variácie konštánt, no jej nevýhodou je nutnosť výpočtu neznámych koeficientov pomocou integrovania.
3. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice \((1)\) je v tvare \[y=c_1y_1(x)+\dots+c_ny_n(x)+y^{*}.\]