Fourierove rady

Medzi najvýznamnejšie funkcionálne rady patrí Fourierov rad, ktorý predstavuje aproximáciu analyzovaného periodického signálu  do trigonometrického radu. Signál je vyjadrený ako nekonečná suma harmonických funkcií sínus a cosínus. Ak sa dve integrovateľné funkcie líšia v konečnom počte bodov, tak majú rovnaký Fourierov rad, a tak nepíšeme medzi funkciou \(f\) a jej Fourierovým radom znak rovnosti.  Za dodatočných podmeniok na funkciu \(f\) sa jej Fourierov rad môže rovnať.

Trigonometrickým radom s periódou \(2\pi\) je funkcionálny rad tvaru \[\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)\right], \]
kde čísla \(a_0,a_1\dots,a_n,\dots\), \(b_1,\dots,b_n,\dots\) sú koeficienty daného trigonometrického radu.

Nech \(f\) je po častiach spojitá, periodická funkcia s periódou \(2l\). Trigonometrický rad \[\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\,(n\omega x)+b_n\sin\,(n\omega x)\right]\] s periódou \(\displaystyle 2l=\frac{2\pi}{\omega}\), v ktorom \[a_0=\frac{1}{l}\int^{2l}_{0}f(x)\textrm{d}x, \quad a_n=\frac{1}{l}\int^{2l}_{0}f(x)\cos(n\omega x) \textrm{d}x,\quad b_n=\frac{1}{l}\int^{2l}_{0}f(x)\sin(n\omega x) \textrm{d}x,\]kde \(n\in\mathbb{N}\), nazývame Fourierov rad funkcie \(f\) a píšeme
\[f(x)\approx \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(n\omega x)+b_n\sin(n\omega x)].\]

V určitých prípadoch môžu byť niektoré koeficienty Fourierovho radu nulové. Z vlastnosti určitého integrálu dostávame \(b_n=0\) pre párne funkcie a \(a_n=0\) pre nepárne funkcie.

• Nech \(f\) je párna, periodická, po častiach spojitá funkcia na intervale \(\left<-l;l\right>\). Potom pre jej Fourierove koeficienty platí \[a_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos(n\omega x)\,\textrm{d}x=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\textrm{d}x,\,\,\hbox{ pre } n\in\mathbb{N}_0\] \[b_n=0,\quad\, \hbox{ pre }n\in\mathbb{N},\] kde \(\displaystyle\omega=\frac{\pi}{l}\).  Fourierov rad, nazývaný  kosínusový rad, má tvar \[f(x)\approx\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(n\omega x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\frac{n\pi x}{l}.\]
• Nech \(f\) je  nepárna, periodická, po častiach spojitá funkcia na intervale \(\left<-l;l\right>\). Potom pre jej Fourierove koeficienty platí \[a_n=0,\quad \hbox{ pre }n\in\mathbb{N}_0\] \[b_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\sin(n\omega x)\,\textrm{d}x=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\textrm{d}x,\quad \hbox{ pre }n\in\mathbb{N}\] kde \(\displaystyle\omega=\frac{\pi}{l}\). Fourierov rad, nazývaný sínusový rad, má tvar \[f(x)\approx\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(n\omega x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\frac{n\pi x}{l}.\]

Ak chceme vyjadriť neperiodickú, po častiach spojitú funkciu \(f\) pomocou Fourierovho radu, tak ju musíme najskôr periodicky predĺžiť.

Periodickým predĺžením po častiach spojitej funkcie \(f:\left\langle a,\,a+l\right\rangle \rightarrow \mathbb{R}\), pre \(a\in\mathbb{R}\) je funkcia   \[f_p(x)=\left\{\begin{array}{ll}
f(x), & \hspace{-0.22cm} pre\,\, x\in(a,\,a+l),\\
f(x-kl), & \hspace{-0.22cm} pre\,\, x\in(a+kl,\,a+(k+1)l),\\
\displaystyle\frac{1}{2}\left[\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)+\lim_{x\rightarrow (a+l)^-}f(x)\right]
&\hspace{-0.22cm} pre\,\, x=a+kl,\,\, k\in \mathbb{Z}.\end{array}\right.\]

Pokiaľ chceme pre funkciu \(f\) nájsť kosínusový resp. sínusový Fourierov rad,  je potrebné ju periodicky predĺžiť na párnu resp. nepárnu funkciu.

• Párne predĺženie po častiach spojitej funkcie \(f:\left\langle 0,\,l\right\rangle \rightarrow \left\langle -l,\,l\right\rangle\) je funkcia   \[f_{pp}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
  f(x), & pre\,\, x\in\left\langle 0,\,l\right\rangle,\\
  f(-x), & pre\,\, x\in\left\langle -l,\,0\right\rangle.
  \end{array}\right.\]
• Nepárne predĺženie po častiach spojitej funkcie \(f:\left\langle 0,\,l\right\rangle \rightarrow \left\langle -l,\,l\right\rangle\) je funkcia \[f_{np}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
  f(x), & pre\,\, x\in\left( 0,\,l\right\rangle,\\
  0, & pre\,\, x=0,\\
  -f(-x), & pre\,\, x\in\left\langle -l,\,0\right).
  \end{array}\right.\]