Laplaceova transformácia

Laplaceova transformácia funkcie reálnej premennej \(f(t)\) je funkcia komplexnej premennej \(F(p)\) definovaná vzťahom \[F(p)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-pt}dt,\quad\quad\quad (1)\]a Laplaceov integrál je nevlastný integrál \((1)\), ktorý zavisí od komplexného parametra \(p\).

Laplaceov integrál je konvergentný len pre niektoré typy funkcií \(f(t)\), t.j. zaoberáme sa len niektorými typmi komplexných funkcií reálnej premennej \(f(t)\) so špeciálnymi vlastnosťami.

Predmet (originál, vzor)  je komplexná funkcia reálnej premennej \(f(t)\),  ak spĺňa nasledovné podmienky:

1. \(f(t)=0\) pre \(t<0\);
2. \(f(t)\) je na intervale \(\left\langle 0,\infty\right)\)  po častiach spojitá, t.j. je spojitá alebo na každom konečnom intervale má  konečný počet bodov nespojitosti prvého druhu;
3. s rastúcim \(t\) absolútna hodnota funkcie \(f(t)\) môže rásť, ale nie rýchlejšie ako nejaká exponenciálna funkcia, t.j. existujú reálne konštanty  \(M\), \(\alpha\) také, že \(\left|f(t)\right|\leq M\,e^{\alpha t}\). 

Podmienke č.3 vyhovujú napr. funkcie:

• všetky ohraničené funkcie a tým aj funkcie \(\sin t\) a \(\cos t\);
• všetky mocninové funkcie \(t^k\) pre \(k\gt 0\). Pre \(k\lt 0\) je \(t=0\) bod nespojitosti druhého druhu.

Predmetom je funkcia \(f(t)\), ktorá spĺňa dané tri podmienky, a obraz (Laplaceova transformácia) je funkcia \(F(p)\) definovaná vzťahom \((1)\). Vzťah medzi predmetom \(f(t)\) a obrazom \(F(p)\) zapisujeme v tvare \[ f(t)\div F(p)\hbox{ alebo } F(p)\div f(t)\hbox{ alebo } F(p)= \mathcal{L} \left[f(t)\right].\]V niektorých odborných literatúrach sa stretávame aj s pojmom index rastu predmetu, ktorým je  číslo definované predpisom \[\alpha_0=\inf\{\alpha\in \mathbb{R}:\left|f(t)\right|\leq M\,e^{\alpha t} \}.\]

Vlastnosti Laplaceovej transformácie

Z definície Laplaceovej transformácie pre \(f(t)=e^{at}\) dostávame \[e^{at}\div\frac{1}{p-a}\quad \hbox{ pre } \hbox{Re}(p)> \hbox{Re}(a).\]

Lineárnosť  Laplacovej transformácie:

Ak \(f_k\) sú predmety a \(F_k\) im prislúchajúce obrazy, tak potom pre ľubovoľné konštanty \(c_k\in \mathbb{C}\), kde \(k=1,2,\dots,n\) platí: \[\sum_{k=1}^nc_k\, f_k(t)\div\sum_{k=1}^nc_k\,F_k(p).\]

Z  lineárnosti Laplaceovej transformácie a explicitného tvaru komplexných goniometrických funkcií odvodíme vzťahy  \[\sin \omega t \div \frac{\omega}{p^2+\omega^2} \hbox{ pre } \hbox{Re}(p)> \left|\hbox{Im}(\omega)\right|,\]\[\cos \omega t\div \frac{p}{p^2+\omega^2} \hbox{ pre } \hbox{Re}(p)> \left|\hbox{Im}(\omega)\right|.\]

Podobnosť Laplacovej transformácie:

Ak \(f(t)\div F(p)\), tak potom pre ľubovoľnú konštantu \(\lambda\in\mathbb{R}^{+}\) platí: \[f(\lambda t)\div \frac{1}{\lambda}F\left(\frac{p}{\lambda}\right).\]

Tlmenie Laplacovej transformácie:

Ak \(f(t)\div F(p)\), tak potom pre ľubovoľné číslo \(a\in\mathbb{C}\) platí: \[e^{at}f( t)\div F(p-a).\]Pre \(f(t)=\sin t\) a \(f(t)=\cos t\)  dostávame vzťahy \[e^{at}\sin \omega t\div\frac{\omega}{(p-a)^2+\omega^2}\quad \hbox{ pre } \hbox{Re}(p)>\hbox{Re}(a)+\left|\hbox{Im}(\omega)\right|,\] \[e^{at}\cos \omega t\div\frac{p-a}{(p-a)^2+\omega^2}\quad \hbox{ pre } \hbox{Re}(p)>\hbox{Re}(a)+\left|\hbox{Im}(\omega)\right|.\]

Derivovanie predmetu Laplacovej transformácie:

Nech funkcia \(f\) a jej derivácia sú predmety a nech \(f\) je spojitá na intervale \((0,\infty)\). Potom:

• Ak \(f(t)\div F(p)\), tak \[f^{'}( t)\div pF(p)-f(0+),\] kde \(f(0+)=\displaystyle\lim_{t\to 0^{+}}f(t)\).
• Ak \(f^{(k)}(0+)=\displaystyle\lim_{t\to 0^{+}}f^{(k)}(t)\), \(k=0,1,\dots,n-1\) a \(f^{(k)}\) sú predmety, tak  \[f^{(n)}( t)\div p^nF(p)-p^{n-1}f(0+)-\dots-pf^{(n-2)}(0+)-f^{(n-1)}(0+).\]

Integrovanie predmetu Laplacovej transformácie:

Ak \(f(t)\div F(p)\), tak potom \(\displaystyle \int_0^t f( \tau)d\tau\div \frac{F(p)}{p}\).

Derivovanie obrazu Laplacovej transformácie:

Ak \(f(t)\div F(p)\), tak potom \(-t\,f(t)\div F^{'}(p)\).

Integrovanie obrazu Laplacovej transformácie:

Nech \(f(t)\div F(p)\). Ak existuje \(\displaystyle\int_p^{\infty} F( z)dz\) a funkcia \(\displaystyle \frac{f(t)}{t}\) je predmetom, tak potom \[\frac{f(t)}{t}\div \displaystyle\int_p^{\infty} F( z)dz.\].

Posunutie, oneskorenie obrazu Laplacovej transformácie:

Ak \(f(t)\div F(p)\) a \(\tau\gt 0\), tak \(\displaystyle f(t-\tau)\div e^{-\tau p}F(p)\). V prípade, že \(f(t)\to f(t)\eta(t)\div F(p)\),  tak potom \[\displaystyle f(t-\tau)\eta(t-\tau)\div e^{-\tau p}F(p).\] Predstih Laplacovej transformácie:

Ak \(f(t)\div F(p)\) a \(\tau\gt 0\), tak \[\displaystyle f(t+\tau)\eta(t)\div e^{\tau p}\left[F(p)-\int_0^{\tau}f(t)e^{-pt}dt\right].\]

Konvolúcia predmetov \(f\) a \(g\) je predmet \(h\), ktorý definujeme predpisom \[h(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau\] a označujeme \(h=f*g\). Konvolúcia predmetov je komutatívna, t.j. \(f*g=g*f\).

Násobenie obrazov Laplacovej transformácie:

Ak \(f\) a \(g\) sú predmety s indexami rastu \(\alpha_0^f\), \(\alpha_0^g\)  a  \(f(t)\div F(p)\), \(g(t)\div G(p)\), potom konvolúcia  \(h=f*g\) je predmet s indexom rastu \(\displaystyle\alpha_0=\max\left\{\alpha_0^f,\alpha_0^g\right\}\) a \[\displaystyle (f*g)(t)\div F(p)G(p), \hbox{ t.j. }\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau\div F(p)G(p).\]

Násobenie predmetov Laplacovej transformácie:

Ak \(f\) a \(g\) sú predmety s indexami rastu \(\alpha_0^f\), \(\alpha_0^g\)  a  \(f(t)\div F(p)\), \(g(t)\div G(p)\), tak \[\displaystyle f(t)g(t)\div\frac{1}{2\pi i}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} F(z)G(p-z)dz,\]kde \(\hbox{Re}(p)>\alpha_0\) pre \(\displaystyle \alpha_0=\max\left\{\alpha_0^f,\alpha_0^g\right\}\).

Spätná Laplaceova transformácia

Ak funkcia \(f(t)\) je predmetom a \(F(p)\) jej obrazom, tak v ľubovoľnom bode \(t\), kde je predmet \(f(t)\) spojitý, platí vzťah  \[f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} F(p)e^{pt}dp,\] pričom integrovanie sa uskutočňuje po ľubovoľnej priamke \(\hbox{Re}(p)=a\), ktorá leží v polrovine, kde Laplaceov integrál z funkcie \(f(t)\) absolútne konverguje.

Pre overenie, či je analytická funkcia \(F(p)\) obrazom, sa stanovujú rôzne nutné alebo postačujúce  podmienky.

Nutná a postačujúca podmienka:

Nech \(P_m(p)\) a \(Q_n(p)\) sú polynómy premennej \(p\) nad \(\mathbb{C}\). Potom \(\displaystyle F(p)=\frac{P_m(p)}{Q_n(p)}\) je Laplaceovým obrazom práve vtedy, keď \(m<n\).