Nekonečné rady

Nekonečné číselné rady

Nech \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) je postupnosť reálnych čísel. Potom výraz \[a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\]je nekonečným číselným radom a označujeme ho \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\). Číslo \(a_n\) je \(n\)-tým členom tohto radu. Vo výraze sumácie resp. nekonečného súčtu nemusíme začínať \(n=1\). Hodnota \(s_n\) je \(n\)-tým čiastočným súčtom a postupnosť \(\{s_n\}_{n=1}^{\infty}\) je postupnosťou čiastočných súčtov daného nekonečného číselného radu,  ak platí:  \[s_1=a_1,\;\;\;s_n=a_1+\dots+a_n.\] Ak existuje konečná limita postupnosti čiastočných súčtov, tak daná limita je súčtom nekonečného radu a \[\sum_{n=1}^\infty a_n=s=\lim_{n\to\infty}s_n.\]Ak má nekonečný číselný rad súčet, tak hovoríme, že rad konverguje alebo je konvergentný. V opačnom prípade, t.j. ak daná limita je nevlastná alebo neexistuje, tak hovoríme, že rad diverguje alebo je divergentný.

Konvergencia a divergencia zvyškového radu:\[\hbox{Nech } k\in\mathbb{N}.\hbox{ Rady }\sum_{n=1}^\infty a_n,\,\sum_{n=k+1}^\infty a_n\;\hbox{ buď súčasne konvergujú alebo súčasne divergujú.}\]

Nutná podmienka konvergencie číselného radu:\[\hbox{Ak rad } \sum_{n=1}^\infty a_n\;\hbox{ konverguje, tak }\lim_{n\to\infty}{a_n}=0.\]

Uvedená podmienka je len nutnou, no nie je postačujúcou podmienkou. Typickým príkladom je harmonický rad \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\), ktorý spĺňa nutnú podmienku konvergencie, no patrí medzi najznámejšie divergentné nekonečné rady.

Vlastnosti konvergencie číselných radov:

Nech rady \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) a  \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\) konvergujú a  \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=s\), \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n=t\). Potom

• \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n+b_n=s+t\);
• \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n-b_n=s-t\);
• \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty k\,a_n=k\,s\) pre \(k\in\mathbb{R}\).

Ďalšou dôležitou vlastnosťou konvergencie nekonečných číselných radov je:\[\hbox{Ak rad } \sum_{n=1}^\infty \left|a_n\right|\hbox{ konverguje, tak konverguje aj rad }\sum_{n=1}^\infty a_n.\]

Na základe uvedenej vlastnosti konvergencie radu absolútnych hodnôt rozlišujeme dva typy konvergencie, a to:

• Rad  \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) absolútne konverguje, ak konverguje rad \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|a_n\right|\).
• Rad  \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) relatívne konverguje, ak diverguje rad \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|a_n\right|\) a konverguje rad \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\).

Špeciálnym nekonečným číselným radom je geometrický rad v tvare \[\sum_{n=0}^\infty a_1q^n=a_1+a_1q+a_1q^2+\dots+a_1q^n+\dots,\] kde \(a_1\neq 0\) a \(q\) je ľubovoľné číslo. Pre \(\left|q\right|\lt 1\) geometrický rad konverguje a jeho súčet je \[s=\lim_{n\to \infty}a_1\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{a_1}{1-q},\] a pre \(\left|q\right|\geq1\) geometrický rad diverguje.

Rad so striedavými znamienkami je nekonečný číselný rad v tvare \[\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots,\] kde všetky koeficienty \(a_n\) sú kladné alebo záporné.

Kritériá konvergencie číselných radov:

Cauchyho (limitné) kritérium: Pre nekonečný číselný rad \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) nech \(\displaystyle \lambda=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\). Ak \(\lambda\lt 1\), tak rad konverguje. Ak \(\lambda\gt 1\), tak rad diverguje. No v prípade \(\lambda=1\) nevieme  nič o konvergencii resp. divergencii radu.

Cauchyho integrálne kritérium: Pre nekonečný číselný rad s  nezápornými členmi \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) nech existuje spojitá funkcia \(f(x)\), ktorá je nerastúca na \(\left<K,\infty\right)\) a taká, že \(f(n)=a_n\) pre \(n\geq K\). Potom rad konverguje práve vtedy, keď konverguje nevlastný integrál \(\displaystyle\int_K^{\infty}f(x)dx\).

D'Alembertovo (limitné) kritérium: Pre nekonečný číselný rad \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) nech \(\displaystyle \lambda=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\). Ak \(\lambda\lt 1\), tak rad konverguje. Ak \(\lambda \gt 1\), tak rad diverguje. No v prípade \(\lambda=1\) nevieme  nič o konvergencii resp. divergencii radu.

Leibnizovo kritérium: Nech \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n\) je rad so striedavými znamienkami a postupnosť  \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) je nerastúca. Potom rad konverguje práve vtedy, keď \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=0\).

Porovnávacie (majorantné) kritérium: Nech \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) a \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\) sú nekonečné číselné rady také, že \(|a_n|\leq b_n\) pre \(n=1,2\dots\). Ak rad  \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\) konverguje, tak konverguje aj rad \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\).  Ak rad  \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) diverguje, tak diverguje aj rad \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\). 

Funkcionálne rady

Postupnosť, ktorej všetky členy sú funkcie je funkcionálna postupnosť a zapisujeme \[\{f_n\}_{n=1}^\infty=\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=f_1,f_2,\dots,f_n,\dots\]Ak sú všetky funkcie definované v nejakom bode \(x_0\), tak môžeme skúmať konvergenciu resp. divergenciu danej funkcionálnej postupnosti \(\displaystyle\{f_n\}_{n=1}^\infty\) v bode \(x_0\). Postupnosť \(\displaystyle\{f_n\}_{n=1}^\infty\) konverguje na množine \(M\), ak konverguje v každom bode danej množiny. Oborom konvergencie postupnosti \(\displaystyle\{f_n\}_{n=1}^\infty\) je množina všetkých bodov, v ktorých postupnosť \(\displaystyle\{f_n\}_{n=1}^\infty\) konverguje.

Nech sú všetky členy funkcionálnej postupnosti \(\displaystyle\{f_n\}_{n=1}^\infty\) definované na neprázdnej množine \(M\). Funkcionálnym radom je výraz \[\sum_{n=1}^{\infty}f_n=f_1+f_2+\dots+f_n+\dots\] Funkcionálna postupnosť \(\{s_n\}_{n=1}^{\infty}\) je postupnosťou čiastočných súčtov daného funkcionálneho radu,  ak platí:  \[s_1=f_1,\;\;\;s_n=f_1+\dots+f_n.\] Ak existuje konečná limita postupnosti čiastočných súčtov na množine \(M\), tak daná limita je súčtom  funkcionálneho radu a \[\sum_{n=1}^\infty f_n=s=\lim_{n\to\infty}s_n.\]Ak má  funkcionálny rad súčet na množine \(M\), tak hovoríme, že rad konverguje na množine \(M\) alebo je konvergentný na množine \(M\). V opačnom prípade, t.j. ak daná limita je nevlastná alebo neexistuje, tak hovoríme, že rad diverguje na množine \(M\) alebo je divergentný na množine \(M\). Oborom konvergencie  funkcionálneho radu \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n\) je obor konvergencie funkcionálnej postupnosti \(\displaystyle\{f_n\}_{n=1}^\infty\)  a označujeme \(OK\).

Ak je \(x_0\in OK\), tak nekonečný číselný rad \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x_0)\) je konvergentný a jeho súčtom je hodnota funkcie \(s\) v bode \(x_0\): \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x_0)=s(x_0)\).

Weierstrassovo (majorantné) kritérium: Ak pre funkcionálny rad  \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n\) existuje  konvergentný číselný rad \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\)  taký, že \(|f_n(x)|\leq a_n\) pre všetky \(x\in M\) a \(n=1,2\dots\), tak \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n\) konverguje na \(M\) .

Mocninové (potenčné) rady

Špeciálnym funkcionálnym radom je mocninový alebo  potenčný rad, ktorý je jednoznačne určený svojím stredom a koeficientami.   Mocninový rad so stredom v bode \(a\) a  koeficientami \(a_n\) je rad  v tvare \[\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n=a_0+a_1(x-a)+\dots+a_n(x-a)^n+\dots.\]Intervalom konvergencie \(IK\) mocninového radu je súmerná množina (interval) okolo stredu \(a\) a na jeho určenie je potrebné stanoviť polomer konvergencie \(\rho\). Využijeme pri tom znalosť koeficientov \(a_n\). Nech \[\lambda=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\hbox{ alebo }\lambda=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| a_n\right|}.\] Potom pre polomer konvergencie \(\rho\) a interval konvergencie \(IK\)  platí:

• Ak \(\lambda=0\), tak \(\rho=\infty\) a  \(IK=\mathbb{R}\).
• Ak \(\lambda=\infty\), tak \(\rho=0\) a \(IK=\{a\}\).
• Ak \(\lambda\in \mathbb{R}^+\), tak \(\rho=\frac{1}{\lambda}\) a \(IK=(a-\rho,a+\rho)\).

Na nájdenie  \(OK\) mocninového radu, ale len v treťom vyššie uvedenom prípade, je potrebné overiť konvergenciu funkcionálneho radu v krajných bodov \(IK\). Dosadením krajných bodov do predpisu funkcionálneho radu dostávame nekonečný číselný rad, ktorého konvergenciu resp. divergenciu overíme pomocou kritérií číselných radov.

Vlastnosti konvergencie mocninového radu:

• Nech \(\rho\gt 0\) je polomer konvergencie  radu  \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n\). Potom jeho súčet \(s:(a-\rho,\,a+\rho)\rightarrow\mathbb{R}\) je spojitá funkcia.
• Mocninové rady \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n\), \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} na_n(x-a)^{n-1}\) a \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}\) majú rovnaký polomer konvergencie.
• Nech \(\rho\gt 0\) je polomer konvergencie  radu \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n\) a  nech \(\displaystyle s(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n\) je jeho súčet. Potom pre každé \(x\in (a-\rho,\,a+\rho)\) platí:
  1. \(\displaystyle s^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} na_n(x-a)^{n-1}\),
  2. \(\displaystyle \int_{a}^x s(t){\mathrm{d}}t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}\).

Taylorov rad

V praxi  častokrát nepotrebujeme nájsť súčet konvergentného funkcionálneho radu na nejakej množine, ktorým je reálna funkcia, ale práve naopak. Problémom môže byť aj nájdenie konvergentného funkcionálneho radu (špeciálne mocninového radu), ktorého súčtom je vopred uvedená reálna funkcia. Ak má funkcia v bode \(a\) derivácie všetkých rádov, môžeme zostrojiť mocninový rad so stredom v bode \(a\) a s koeficientami určenými pomocou derivácií funkcie v \(a\).  Taylorov rad funkcie \(f(x)\) v bode \(a\) je mocninový rad \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1!}(x-a)+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\dots\] Nech \(f\) je \((n+1)\)-krát diferencovateľná v bode \(a\) a definovaná na okolí \(\mathcal{O}(a)\) bodu \(a\). Potom \[f(x)=\underbrace{f(x_0)+\frac{f^{\prime}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}_{\hbox{n-tý Taylorov polynóm}}+\underbrace{R_{n+1}(x)}_{\hbox{zvyšok}}.\] Maclaurinov rad je Taylorov rad pre \(a=0\) t.j. \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=f(0)+\frac{f^{\prime}(0)}{1!}x+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\dots\]