Reálna funkcia viac premenných

Euklidovský priestor

Nech \(X\) je neprázdna množina. Zobrazenie \(\rho:X\times X \to \mathbb{R}_{0}^{+}\) je metrika na \(X\), ak pre každé \(x,y,z\in\mathbb{R}\) platí:

\(\rho(x,y)=0\) práve vtedy, keď \(x=y\),
\(\rho(x,y)=\rho(y,x)\),
\(\rho(x,z)\leq \rho(x,y)+ \rho(y,z)\), tzv. trojuholníková nerovnosť.

Dvojica \((X,\rho)\) následne reprezentuje metrický priestor.

Euklidovská metrika pre \(X=\mathbb{R}^n\) je zobrazenie: \[\rho(x,y)=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2},\] kde \(x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n\), \(y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n\).

Nech \((X,\rho)\) je metrický priestor a nech \(c\in X\), \(\varepsilon >0\). Okolím bodu \(c\) (otvorenou guľou) s polomerom \(\varepsilon\) alebo \(\varepsilon\)-okolím bodu \(c\) je množina \(\mathcal{O}_{\varepsilon}(c)=\{x\in X:\rho(x,c)<\varepsilon\}\). Prstencovým okolím bodu \(c\) je množina \(\mathring{\mathcal{O}}_{\varepsilon}(c)=\mathcal{O}_{\varepsilon}(c)\setminus\{c\}\).

Nech \(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\) je postupnosť bodov v priestore \((X,\rho)\). Postupnosť \(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\) má limitu \(x\in X\), ak k ľubovoľnému okoliu \(\mathcal{O}(x)\) existuje \(n_0\in\mathbb{N}\) také, že pre všetky \(n\in\mathbb{N}\), \(n>n_0\) je \(x_n\in\mathcal{O}(x)\). Píšeme \(x_n\to x\) alebo \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}=x\) v priestore \((X,\rho)\).

Nech \((X,\rho)\) je metrický priestor a množina \(M\subset X\), \(a\in X\).

Bod \(a\) je vnútorný bod množiny \(M\), ak existuje okolie \(\mathcal{O}(a)\subset M\). Vnútro množiny \(M\) je množina všetkých vnútorných bodov a označujeme ho \(M^{0}\).
Bod \(a\) je vonkajším bodom množiny \(M\), ak existuje také okolie \(\mathcal{O}(a)\), že \(\mathcal{O}(a)\cap M=\emptyset\).
Bod \(a\) je hraničný bod množiny \(M\), ak každé okolie \(\mathcal{O}(a)\) obsahuje bod množiny \(M\), a aj bod, ktorý do \(M\) nepatrí. Hranica množiny \(M\) je množina všetkých hraničných bodov množiny \(M\).
Bod \(a\) je bod uzáveru množiny \(M\), ak pre každé okolie \(\mathcal{O}(a)\) platí: \(\mathcal{O}(a)\cap M\neq\emptyset\). Uzáver množiny \(M\) je množina všetkých bodov uzáveru množiny \(M\) a označujeme ho \(\overline{M}\).

Vlastnosti konvergencie postupnosti v metrickom priestore \(X\):

Postupnosť \(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\) má najviac jednu limitu.
Ak \(x_n\to x\), tak pre ľubovoľnú vybranú postupnosť \(\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}\) platí \(x_{n_k}\to x\).
Ak postupnosť \(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\) konverguje, tak je ohraničená.

Navyše, ak \(X\) je normovaný lineárny priestor, tak:

Ak \(u_n\to u\) a \(v_n\to v\), tak \(u_n+v_n\to u+v\).
Ak \(u_n\to u\) a \(\alpha_n\to \alpha\), kde \(\{\alpha_n\}_{n=1}^{\infty}\) je postupnosť čísel, tak \(\alpha_n u_n\to \alpha u\).

Ak \(X\) je lineárny priestor so skalárnym súčinom, tak

Ak \(u_n\to u\) a \(v_n\to v\), tak \(u_n\,.v_n\to u\,.\,v\).

V euklidovských priestoroch sa často využíva tzv. konvergencia po súradniciach.

Konvergencia po súradniciach v \(\mathbb{R}^m\):

Nech \(p_n=(x_{1n},x_{2n},\dots, x_{mn})\), \(n\in\mathbb{N}\) a \(p=(x_1,x_2,\dots,x_m)\). Potom \(p_n\to p\) v priestore \(\mathbb{R}^m\) práve vtedy, keď
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{in}=x_i\quad \hbox{pre}\quad i=1,2,\dots,m.\]

Limita a spojitosť funkcie

Funkcia \(f:\mathbb{R}^m\supset A\to \mathbb{R}^n\) je spojitá v bode \(c\in A\), ak pre každé \(\mathcal{O}_\varepsilon(f(c))\) existuje \(\mathcal{O}_\delta(c)\) také, že \[f(\mathcal{O}_\delta(c)\cap A)\subset \mathcal{O}_\varepsilon(f(c)).\]V mnohých odborných literatúrach sa stretávame aj s definíciou limity funkcie definovanej pomocou metriky:

Funkcia \(f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n\) je spojitá v bode \(c\), ak \(c\in D(f)\) a \[(\forall \varepsilon\gt 0) (\exists \delta\gt 0) (\forall x\in D(f)) \left(\rho_1(x,c)\lt \delta \Rightarrow\rho_2(f(x),f(c))\lt \varepsilon\right),\] kde \(\rho_1\) je metrika v \(\mathbb{R}^m\) a \(\rho_2\) je metrika v \(\mathbb{R}^n\).

Pri používaní vlastnosti spojitosti funkcie je potrebné sa presne vyjadrovať. Spojitosť funkcie sa vzťahuje na množinu, na ktorej je funkcia definovaná, a tak musíme rozlišovať, či je funkcia spojitá na celom svojom definičnom obore alebo len na jeho časti.

Nech \(M\subset A\) a funkcia \(f:\mathbb{R}^m\supset A\to \mathbb{R}^n\) je spojitá v každom bode \(c\in M\). Potom funkcia \(f:A\to \mathbb{R}^n\) je spojitá na množine \(M\). Ak funkcia \(f:A\to \mathbb{R}^n\) je spojitá v každom bode \(c\in A\), tak \(f:A\to \mathbb{R}^n\) je spojitá funkcia.

Vlastnosti spojitosti funkcie:

Ak funkcie \(f:\mathbb{R}^m\supset A\to \mathbb{R}\), \(g:\mathbb{R}^m\supset A\to \mathbb{R}\) sú spojité v bode \(c\in A\), tak sú v bode \(c\) spojité aj funkcie \(f+g\), \(f.g\), \(\left|f\right|\) a funkcia \(\frac{f}{g}\) (pokiaľ \(g(c)\neq 0\)).
Nech \(f=(f_1,\dots,f_m):A\to \mathbb{R}^n\), \(A\subset \mathbb{R}^m\). Potom funkcia \(f\) je spojitá v bode \(c\in A\) práve vtedy, keď sú v bode \(c\) spojité všetky zložky \(f_i\), \(i=1,\dots, m\).

So spojitosťou funkcie úzko súvisí pojem limity funkcie. Nech \(f:\mathbb{R}^m\supset A\to \mathbb{R}^n\) a \(c\in \mathbb{R}^m\) je hromadným bodom množiny \(A\). Funkcia \(f:A\to \mathbb{R}^n\) má v bode \(c\) limitu \(d\in \mathbb{R}^n\), ak pre každé \(\mathcal{O}_\varepsilon(d)\) existuje \(\mathring{\mathcal{O}}_\delta(c)\) také, že \(f(\mathring{\mathcal{O}}_\delta(c)\cap A)\subset \mathcal{O}_\varepsilon(d)\). Píšeme \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=d\).

Vlastnosti limity funkcie:

Nech \(f:\mathbb{R}^m\supset A\to \mathbb{R}^n\) a \(c\in A\) je hromadný bod množiny \(A\). Funkcia \(f:A\to \mathbb{R}^n\) je spojitá v bode \(c\) práve vtedy, keď \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)\).
Nech \(f=(f_1,\dots,f_m):A\to \mathbb{R}^n\), \(A\subset \mathbb{R}^m\). Potom funkcia \(f\) je spojitá v bode \(c\in A\) práve vtedy, keď sú v bode \(c\) spojité všetky zložky \(f_i\), \(i=1,\dots, m\).
Nech \(f:\mathbb{R}^m\supset A\to \mathbb{R}\), \(g:\mathbb{R}^m\supset A\to \mathbb{R}\) a nech existujú limity \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=d\in\mathbb{R}\), \(\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=e\in\mathbb{R}\). Potom
- \(\displaystyle\lim_{x\to c}\left[f(x)+g(x)\right]=d+e\);
- \(\displaystyle\lim_{x\to c}kf(x)=kd\), kde \(k\in\mathbb{R}\);
- \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)g(x)=de\);
- \(\displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{d}{e}\), ak je \(e\neq 0\).

Parciálne derivácie

Nech funkcia \(f:\mathbb{R}^m\supset A\to \mathbb{R}\) je definovaná na okolí bodu \(c=(c_1,\dots,c_n)\) a nech touto funkciou sú definované funkcie jednej reálnej premennej \(g_i:B\to \mathbb{R}\) \[g_i(x_i)=f(c_i,\dots, c_{i-1},x_i,c_{i+1},\dots,c_n), \hbox{ pre } i=1,\dots,n.\] Funkcia \(g_i(x_i)\) definovaná na okolí bodu \(c_i\in\mathbb{R}\) je parciálna funkciou funkcie \(f\) premennej \(x_i\).

Ak existuje vlastná derivácia funkcie \(g_i\) v bode \(c_i\), t.j. existuje konečná limita \[\displaystyle\lim_{x_i\to c_i}\frac{f(c_i,\dots, c_{i-1},x_i,c_{i+1},\dots,c_n)-f(c_i,\dots, c_{i-1},c_i,c_{i+1},\dots,c_n)}{x_i-c_i}=g^{'}(c_i),\]potom číslo \(g^{'}(c_i)\) je parciálnou deriváciou prvého rádu funkcie \(f\) v bode \(c\) podľa premennej \(x_i\) a označujeme \(\displaystyle\frac{\partial f(c)}{\partial x_i}\) alebo \(f^{'}_{x_i}(c)\).

Parciálne derivácie majú mnoho praktických využití, či už sú to geometrické, funkcionálne alebo fyzikálne.

Geometrický význam parciálnych derivácií funkcie \(f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\):

Nech \(f:\mathbb{R}^2\supset A\to \mathbb{R}\) a \(z=f(x,y)\). Rovnica dotykovej roviny ku ploche určenej funkciou \(f\) v dotykovom bode \(T[a,b,f(a,b)]\) má tvar \[(x-a)f^{'}_x(a,b)+(y-b)f^{'}_y(a,b)-(z-f(a,b))=0.\] Rovnica normály ku ploche určenej funkciou \(f\) v dotykovom bode \(T[a,b,f(a,b)]\) má tvar \[\frac{x-a}{f^{'}_x(a,b)}=\frac{y-b}{f^{'}_y(a,b)}=\frac{z-f(a,b)}{-1}.\]

Diferenciál a parciálne derivácie vyšších rádov

Nech funkcia \(f:\mathbb{R}^n\supset A\to \mathbb{R}\) je definovaná na okolí \(\mathcal{O}(c)\), kde \(c=(c_1,\dots,c_n)\in A\). Funkcia \(f\) je diferencovateľná v bode \(c\), ak existujú čísla \(K_i\in \mathbb{R}\), \(i=1,\dots,n\) a existuje funkcia \(\omega:\mathbb{R}^n\supset A\to \mathbb{R}\) taká, že:

\(\omega\) je spojitá v bode \(c\) a \(\displaystyle\lim_{x\to c}\omega(x)=\omega(c)=0\),
\(f(x)-f(c)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}K_i(x_i-c_i)+\omega(x)\rho(x,c)\).

Totálny (úplný) diferenciál funkcie \(f:\mathbb{R}^n\supset A\to \mathbb{R}\) v bode \(c\in A\) je funkcia \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}K_i(x_i-c_i)\) a označujeme ho \(df(c,x)\). Ak \(f\) je diferencovateľná v bode \(c\in A\), tak \(\displaystyle K_i=\frac{\partial f(c)}{\partial x_i}\).

Podobne ako to bolo pri funkcii jednej premennej, z prvej derivácie funkcie definujeme derivácie druhého rádu a podobne i derivácie vyšších rádov.

Nech funkcia \(f:\mathbb{R}^n\supset A\to \mathbb{R}\) má v nejakom okolí bodu \(c=(c_1,\dots,c_n)\in A\) parciálnu deriváciu podľa \(i\)-tej premennej. Ak existuje derivácia funkcie \(f\) podľa \(j\)-tej premennej v bode \(c\in A\), tak je parciálnou deriváciou druhého rádu funkcie \(f\) v bode \(c\) podľa \(i\)-tej a \(j\)-tej premennej (v tomto poradí) a označujeme ju \[\frac{\partial^2 f(c)}{\partial x_i\partial x_j}\, \hbox{ alebo }\, f^{''}_{x_ix_j}(c)\,\hbox{ alebo } \,f^{''}_{ij}(c)\]Ak \(i=j\), tak namiesto \[\frac{\partial^2 f(c)}{\partial x_i\partial x_i}\,\hbox{ píšeme }\,\frac{\partial^2 f(c)}{\partial x_i^2}.\]

Nezávislosť poradia parciálneho derivovania:

Ak funkcia \(f:\mathbb{R}^n\supset A\to \mathbb{R}\) je v bode \(c\in A\) \(k\)-krát diferencovateľná, tak jej parciálne derivácie v bode \(c\), ktoré sa líšia len v poradí derivovavania, sa sebe rovnajú.

Pomocou parciálnych derivácií vyšších rádov môžeme definovať diferenciál vyššieho rádu, ktorý je užitočným nástrojom pri zisťovaní zmeny hodnôt funkcie resp. pri odhadovaní funkčných závislostí.

Funkcia \(f:\mathbb{R}^n\supset A\to \mathbb{R}\) má v bode \(c=(c_1\dots,c_n)\in A\) diferenciál \(k\)-tého rádu, ak má na okolí \(\mathcal{O}(c)\subset A\) všetky parciálne derivácie \((k-1)\)-ho rádu a tieto derivácie sú diferencovateľné v bode \(c\). Funkcia \[d^k f(c,x)=\left[\frac{\partial}{\partial x_1}(x_1-c_1)+\dots+\frac{\partial}{\partial x_n}(x_n-c_n)\right]^k f(c)\] je diferenciálom \(k\)-tého rádu funkcie \(f\) v bode \(c\) pre bod \(x=(x_1,\dots,x_n)\in A\).

Derivácia funkcie v danom smere a gradient

Dôležitou geometrickou aplikáciou parciálnych derivácií funkcie je derivácia funkcie v smere a gradient, ktorý charakterizuje smer a veľkosť maximálneho rastu funkcie vo fixnom bode z definičného oboru funkcie.

Nech \(f:\mathbb{R}^n\supset A\to \mathbb{R}\) a nech \(A\) je otvorená množina, \(c\in A\) a \(\vec{l}\) je jednotkový vektor z \(\mathbb{R}^n\) zo začiatkom v bode \(c\). Derivácia funkcie \(f\) v bode \(c\) vo smere vektora \(\vec{l}\) je limita (ak existuje) \[\lim_{t\to{0^+}}\frac{f(c+t\vec{l})-f(c)}{t}\]a označujeme ju \(\frac{\operatorname{d}f(c)}{\operatorname{d}\vec{l}}\).

Zvolíme si pravouhlý súradnicový systém jednoznačne určený jednotkovými vektormi \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) a uvažujme \(f\) ako funkciu troch premenných, t.j. \(f(x,y,z)\). Nech \(c=(c_1,c_2,c_3)\) a predpokladáme, že \(f\) je diferencovateľná v bode \(c\). Vektor \(\vec{l}\) uvažujme v tvare \(\vec{l}=\vec{i}\cos \alpha+\vec{j}\cos\beta+\vec{k}\cos\gamma\), kde \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) sú uhly, ktoré zviera vektor \(\vec{l}\) so súradnicovými osami. Deriváciu funkcie \(f\) v bode \(c\) vo smere vektora \(\vec{l}\) môžeme následne určiť zo vzťahu \[\frac{\operatorname{d}f(c)}{\operatorname{d}\vec{l}}=\frac{\partial f(c)}{\partial x}.\cos \alpha+\frac{\partial f(c)}{\partial y}.\cos\beta+\frac{\partial f(c)}{\partial z}.\cos \gamma,\]prípadne z tvaru skalárneho súčinu vektorov \[\frac{\operatorname{d}f(c)}{\operatorname{d}\vec{l}}=\left(\frac{\partial f(c)}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f(c)}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f(c)}{\partial z}\vec{k}\right).\,\vec{l},\] kde vektor \[\frac{\partial f(c)}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f(c)}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f(c)}{\partial z}\vec{k}\]je gradientom funkcie \(f\) v bode \(c\) a označujeme ho \(\hbox{grad}\;f(c)\).

Extrémy funkcie

Funkcia \(f:\mathbb{R}^n\supset A\to \mathbb{R}\)

má v bode \(c\in A\) lokálne minimum, ak existuje také okolie \(\mathcal{O}(c)\) bodu \(c\), že pre každé \(x\in\mathcal{O}(c)\cap A\) platí: \(f(x)\geq f(c)\);
má v bode \(c\in A\) lokálne maximum, ak existuje také okolie \(\mathcal{O}(c)\) bodu \(c\), že pre každé \(x\in\mathcal{O}(c)\cap A\) platí: \(f(x)\leq f(c)\).

Ak pre každé \(x\in\mathring{\mathcal{O}}(c)\cap A\) platí:

\(f(x)>f(c)\), tak funkcia \(f\) má v bode \(c\) ostré lokálne minimum;
\(f(x)<f(c)\), tak funkcia \(f\) má v bode \(c\) ostré lokálne maximum

Ak pre všetky \(x\in A\) platí:

\(f(x)\geq f(c)\), tak funkcia \(f\) má v bode \(c\) absolútne minimum;
\(f(x)\leq f(c)\), tak funkcia \(f\) má v bode \(c\) absolútne maximum.

Bod \(c\) je stacionárnym bodom funkcie \(f\), ak \[\frac{\partial f(c)}{\partial x_i}=0 \hbox{ pre }i=1,\dots,n.\]Funkcia \(f\) môže mať lokálne extrémy len v bodoch, v ktorých prvé parciálne derivácie funkcie \(f\) sú rovné nule alebo v nich nemá deriváciu z \(\mathbb{R}\).

Viazané extrémy funkcie:

Nech \(f:\mathbb{R}^2\supset A\to \mathbb{R}\), \(g:A\supset B\to \mathbb{R}\). Predpokladajme, že množina \(M=\{(x,y)\in A:g(x,y)=0\}\) a nech funkcia \(f\) má v bode \(c\in M\) lokálny extrém. Funkcia \(f\) má v bode \(c\) viazaný lokálny extrém a podmienka \(g(x,y)=0\) je väzbou. Lokálne extrémy Lagrangeovej funkcie \[F(x,y)=f(x,y)+\lambda g(x,y) \hbox{ pre } \lambda\in\mathbb{R}\] sú viazanými extrémami funkcie \(f\) na množine \(M\). Body, v ktorých môže mať funkcia \(F\) lokálny extrém, spĺňajú podmienky: \[F^{'}_x(x,y)=f^{'}_x(x,y)+\lambda g^{'}_x(x,y)=0,\] \[F^{'}_y(x,y)=f^{'}_y(x,y)+\lambda g^{'}_y(x,y)=0,\] \[g(x,y)=0.\]