Funkcia komplexnej premennej

Pre lepšie pochopenie problematiky funkcie komplexnej premennej odporúčame zopakovať si základné vlastnosti komplexných čísel ako sú operácie s komplexnými číslami, algebraické a goniometrické tvary.

Komplexná funkcia komplexnej premennej

Nech \(z_0\in\mathbb{C}\) a \(\rho\in\mathbb{R}^+\). \(\rho\)-okolím bodu \(z_0\) je vnútro kruhu s polomerom \(\rho\) a so stredom v \(z_0\), t.j. množina bodov \(z\in\mathbb{C}\), ktoré vyhovujú nerovnosti \(\left|z-z_0\right|\lt \rho\). Číslo \(z_0\) je limitou postupnosti komplexných čísel \(\displaystyle \{z_n\}_{n=1}^{\infty}\) a píšeme \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}z_n=z_0\), ak \[(\forall \varepsilon>0)\, (\exists n_0\in \mathbb{N})\,(\forall n\geq n_0)\; \left|z_n-z_0\right|<\varepsilon.\] Rozšírenou Gaussovou (komplexnou) rovinou rozumieme rovinu \(\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}\).

Vlastnosť limity  postupnosti:

Ak \(z_0=x_0+\hbox{i}\,y_0\) a \(z_n=x_n+\hbox{i}\,y_n\), pre \(n\in \mathbb{N}\), tak \[\displaystyle\lim_{n\to \infty}z_n=z_0\; \hbox{ práve vtedy, keď }\; \displaystyle\lim_{n\to \infty}x_n=x_0, \displaystyle\lim_{n\to \infty}y_n=y_0.\]
Ak pre postupnosť \(\{z_n\}_{n=1}^{\infty}\) sú moduly všetkých jej členov od niektorého počnúc väčšie ako ľubovoľné kladné číslo, tak píšeme \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}z_n=\infty\).

Nech je daná neprázdna množina \(A\subset \mathbb{C}^{*}\). Komplexná funkcia komplexnej premennej  je zobrazenie \(f:A\to \mathbb{C}^{*}\) a množina \(A\) je definičným oborom funkcie \(f\) a označujene ju \(D_f\). Ak \(D_f\subset \mathbb{R}\), tak \(f\) je komplexnou funkciou reálnej premennej.

Komplexná funkcia reálnej premennej

Nech je daná funkcia \(f:\mathbb{R}^{*}\supset D_f\to \mathbb{C}^{*}\) a nech \(t_0\) je vnútorným bodom množiny \(D_f\). Funkcia \(f\) má v bode \(t_0\) deriváciu \(f^{'}(t_0)\), ak existuje konečná limita \[\lim_{t\to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}=f^{\prime}(t_0).\] Ak \(p,q:\mathbb{R}^{*}\supset D_f\to \mathbb{R}^{*}\), tak pre deriváciu funkcie \(f(t)=p(t)+\hbox{i}\,q(t)\) platí: \[\lim_{t\to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}=\lim_{t\to t_0}\frac{p(t)-p(t_0)}{t-t_0}+\hbox{i}\lim_{t\to t_0}\frac{q(t)-q(t_0)}{t-t_0}=p^{\prime}(t_0)+\hbox{i}\,q^{\prime}(t_0)=f^{\prime}(t_0).\]

Orientovaná krivka je množina bodov \(P\in \mathbb {C}\), ak súradnice každého bodu \(P\) možno jednoznačne určiť pomocou zobrazenia \(\gamma:\left\langle \alpha,\beta \right\rangle\to \mathbb{C}\), kde \(\gamma(\alpha)\) je začiatočný bod krivky  a \(\gamma(\beta)\) je koncový bod krivky. Ak \(\overline{\gamma}(t)=\gamma(-t)\) pre \(t\in \left\langle -\beta,-\alpha \right\rangle\), tak krivka určená zobrazením \(\overline{\gamma}\) je opačne orientovanou krivkou ku krivke určenou zobrazením \(\gamma\).

Jednoduchá uzavretá krivka je orientovaná kladne vzhľadom na vnútornú oblasť ňou ohraničenou, ak pohyb po tejto krivke je proti smeru hodinových ručičiek. V opačnom prípade je záporne orientovaná.

Derivácia komplexnej funkcie komplexnej premennej

Nech je daná funkcia \(f:\mathbb{C}\supset D_f\to \mathbb{C}^{*}\) a nech \(z_0\) je vnútorným bodom množiny \(D_f\). Funkcia \(f\) má v bode \(z_0\) deriváciu \(f^{\prime}(z_0)\), ak existuje konečná limita \[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=f^{\prime}(z_0).\]

Nutná podmienka existencie derivácie:

Nech je daná funkcia \(f:\mathbb{C}\supset D_f\to \mathbb{C}\), kde \(f(z)=p(x,y)+\hbox{i}\,q(x,y)\). Ak  funkcia \(f\) má deriváciu v bode \(z_0=x_0+\hbox{i}\,y_0\), ktorý je vnútorným bodom množiny \(D_f\), tak potom funkcie \(p,q\) sú diferencovateľné v bode \([x_0,y_0]\) a platí: \[p^{\prime}_x(x_0,y_0)=q^{\prime}_y(x_0,y_0)\;\; \hbox{ a }\;\;p^{\prime}_y(x_0,y_0)=-q^{\prime}_x(x_0,y_0).\quad \quad\quad (\hbox{CR})\]

Podmienky \((\hbox{CR})\) pre funkciu \(f(z)=p(x,y)+\hbox{i}\,q(x,y)\) nazývame aj  Cauchy-Riemannove podmienky.

Postačujúca podmienka existencie derivácie:

Nech funkcie \(p,q:\mathbb{R}^2\supset A\to \mathbb{R}\) sú diferencovateľné v bode \([x_0,y_0]\in \mathbb{R}^2\), ktorý je vnútorným bodom \(A\). Ak funkcie \(p\), \(q\) spĺňajú Cauchy-Riemannove podmienky \((\hbox{CR})\), tak potom pre \(z=x+\hbox{i}\,y\) má funkcia  \(f(z)=p(x,y)+\hbox{i}\,q(x,y)\) deriváciu v bode \(z_0=x_0+\hbox{i}\,y_0\).

Funkcia \(f\) je analytická v bode \(z_0\), ak existuje okolie \(\mathcal{O}(z_0)\), na ktorom má funkcia \(f\) derivácie. Bod \(z_0\in\mathbb{C}\) je regulárny bod funkcie \(f\), ak je v ňom funkcia \(f\) analytická. Bod \(z_0\in\mathbb{C}\), ktorý nie je regulárnym bodom funkcie \(f\) (funkcia \(f\) nemusí byť definovaná v bode \(z_0\)), je  singulárny bod funkcie \(f\).

Elementárne funkcie komplexnej premennej

Rozšírením definičného oboru funkcie reálnej premennej na množinu komplexných čísel môžeme rozšíriť aj definičný obor elementárnych reálnych funkcií a tým definovať elementárne funkcie komplexnej premennej.

Exponenciálna funkcia:

Pre každé \(z=x+\hbox{i}\,y\in \mathbb{C}\) definujeme \[e^z=e^x\cos y+\hbox{i}\,e^x \sin y.\]Základné vlastnosti:

• periodická s periódou \(2\pi \hbox{i}\);
• \(e^z\) je analytická na \(\mathbb{C}\);
• pre \(z\in \mathbb{C}\) je \(\left|e^z\right|=e^x\);
• \(\displaystyle\lim_{z\to 0} e^z=1\) a \(\displaystyle\lim_{z\to \infty} e^z\) neexistuje.

Goniometrické funkcie:

Pre každé \(z\in \mathbb{C}\) definujeme \[\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2\hbox{i}},\; \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \hbox{tg } z=\frac{\sin z}{\cos z},\; \hbox{cotg } z=\frac{\cos z}{\sin z}.\]Základné vlastnosti:

• funkcie \(\sin\), \(\cos\) sú na \(\mathbb{C}\) periodické s periódou \(2\pi \);
• funkcie \(\sin\), \(\cos\) sú analytické a  \[(\sin z)^{'}=\cos z, \quad(\cos z)^{'}=-\sin z,\]
• funkcie  \(\hbox{tg }\), \(\hbox{cotg }\) sú periodické s periódou \(\pi\) a \[\hbox{tg }(-z)=-\hbox{tg } z,\quad \hbox{cotg }(-z)=-\hbox{cotg } z,\]
• funkcie  \(\hbox{tg }\), \(\hbox{cotg }\) sú analytické na definičnom obore a  \[(\hbox{tg } z)^{'}=\frac{1}{\cos^2 z}, \quad(\hbox{cotg } z)^{'}=-\frac{1}{\sin^2 z}.\]

Hyperbolické funkcie:

Pre každé \(z\in \mathbb{C}\) definujeme \[\sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2},\quad \cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},\] \[ \hbox{tgh}\,z=\frac{\sinh z}{\cosh z},\quad \hbox{cotgh}\, z=\frac{\cosh z}{\sinh z}.\]Vzájomné vzťahy: \[\sinh z=-\hbox{i}\,\sin (\hbox{i}z), \quad\sin z=-\hbox{i}\,\sinh (\hbox{i}z),\] \[\cosh z=\cos (\hbox{i}z), \quad\cos z=\cosh (\hbox{i}z),\] \[\hbox{tgh}\, z=-\hbox{i}\,\hbox{tg}\, (\hbox{i}z), \quad\hbox{tg}\, z=-\hbox{i}\,\hbox{tgh}\, (\hbox{i}z),\] \[\hbox{cotgh}\, z=\hbox{i}\,\hbox{cotg}\, (\hbox{i}z), \quad\hbox{cotg}\, z=\hbox{i}\,\hbox{cotgh}\, (\hbox{i}z).\]

Logaritmická funkcia:

Logaritmickú funkciu definujeme ako inverznú funkciu k exponenciálnej funkcii. Ak \(e^w=z\), kde \(z\neq 0\), tak \(w\) je logaritmom čísla \(z\) a označujeme \(w=\hbox{Ln }z\). Nech \(z\in\mathbb{C}\) je vyjadrené v goniometrickom tvare \(z=\left|z\right|(\cos \varphi+\hbox{i}\,\sin \varphi)\), kde \(\left|z\right|\) je modul \(z\) a \(\hbox{arg}\, z=\varphi\). Potom pre  \(w=u+\hbox{i}\,v\) dostávame \[u=\ln\left|z\right|,  \quad v=\hbox{arg}\,z+k2\pi,\,\hbox{ pre } k\in \mathbb{Z}\]a  následne po dosadení \[\hbox{Ln }z=\ln \left|z\right|+\hbox{i}\,[\hbox{arg}\,z+k2\pi],\; \hbox{ pre } k\in \mathbb{Z}.\]