Krivkové integrály

Hladké a orientované krivky

Jednoduchá hladká krivka \(C\) je množina bodov \(P\in \mathbb {R}^3\), ak súradnice bodu \(P[x,y,z]\) možno jednoznačne určiť pomocou funkcií \(\varphi,\psi,\chi:\left\langle \alpha,\beta\right\rangle\to \mathbb{R}\) tak, aby:

• parametrické vyjadrenie jednoduchej hladkej krivky \(C\)
  • \(x=\varphi(t)\),
  • \(y=\psi(t)\),
  • \(z=\chi(t)\), kde \(t\in \left\langle \alpha,\beta\right\rangle\);
• funkcie \(\varphi,\psi,\chi\) majú spojité derivácie pre \(t\in \left\langle \alpha,\beta\right\rangle\);
• \[\varphi^{'2}(t)+\psi^{'2}(t)+\chi^{'2}(t)>0\hbox{ pre }t\in \left\langle \alpha,\beta\right\rangle;\]
• každým dvom rôznym hodnotám parametra \(t\in \left\langle \alpha,\beta\right\rangle\) odpovedajú dva rôzne body t.j. \[\forall t_1,t_2\in \left\langle \alpha,\beta\right\rangle\; \left[t_1\neq t_2 \to P(t_1)\neq P(t_2)\right].\]

Jednoduchá hladká krivka \(C\) je jednoduchá uzavretá hladká krivka, ak \(P(\alpha)=P(\beta)\).

Orientácia krivky:

Krivka \(C\) je orientovaná súhlasne s parametrickým vyjadrením \(\textbf{r}(t)=(\varphi(t),\psi(t),\chi(t))\) pre \(t\in \left\langle \alpha,\beta\right\rangle\), ak pre ľubovoľné body \(P_1,P_2\) krivky \(C\), pre ktoré \(t_1<t_2\), je bod \(P_1\) je pred bodom \(P_2\). Krivka \(C\) je  orientovaná nesúhlasne s parametrickým vyjadrením \(\textbf{r}(t)=(\varphi(t),\psi(t),\chi(t))\) pre \(t\in \left\langle \alpha,\beta\right\rangle\), ak pre ľubovoľné body \(P_1,P_2\) krivky \(C\), pre ktoré \(t_1<t_2\), je bod \(P_2\) je pred bodom \(P_1\).

Orientácia uzavretej krivky:

Nech \(P_1=\textbf{r}(t_1)\), \(P_2=\textbf{r}(t_2)\), \(P_3=\textbf{r}(t_3)\), pre \(t_1,t_2,t_3\in \left\langle \alpha,\beta\right\rangle\) sú tri rôzne body. Krivka \(C\) je cyklicky orientovanou súhlasne  s parametrickým vyjadrením, ak trojicu bodov \((P_1,P_2,P_3)\) považujeme za uspotriadanú v zmysle orientácie práve vtedy, keď nastane jedna z nasledovných možností \[t_1<t_2<t_3,\quad t_3<t_1<t_2,\quad t_2<t_3<t_1.\]Cyklicky orientované krivky  sú uzavreté krivky cyklicky orientované súhlasne alebo nesúhlasne s parametrickým vyjadrením.

Krivkový integrál 2. druhu

Nech na orientovanej krivke \(C\) sú body \(P_0,P_1\dots,P_m\) v danom poradí a \(P_0\), \(P_m\) sú koncové body krivky \(C\). Delenie \(D\) krivky \(C\)  pozostáva z čiastočných kriviek \(P_{i-1}P_i\) pre \(i=1,2,\dots,m\).  Orientovaná krivka \(C\) je po častiach hladká, ak existuje také jej delenie, že všetky čiastočné krivky  \(P_{i-1}P_i\) tohto delenia sú hladké oblúky.  Postupnosť \(\{D_n\}_{n=1}^{\infty}\) delení krivky \(C\) je normálna, ak\[\lim_{n\to \infty}\left\|D_n\right\|=0,\] kde \(\left\|D_n\right\|=\max\{d(P_{i-1},P_{i}): i=1,2,\dots,m\}\).

Nech \(C\) je ľubovoľná orientovaná krivka a \(\textbf{f}(P)\) ohraničená vektorová funkcia definovaná v každom bode krivky \(C\). Pre delenie \(D\) krivky \(C\) dané deliacimi bodmi \(P_0,P_1\dots,P_m\) nech \(K_i\in P_{i-1}P_i\). Integrálny súčet funkcie f pre delenie \(D\) a pre daný výber bodov \(K_i\) je hodnota \[S(f,D)=\sum_{i=1}^m \textbf{f}(K_i)\cdot(P_i-P_{i-1}).\] Ak pre každú normálnu postupnosť delení \(\{D_n\}_{n=1}^\infty\) krivky \(C\) a pre ľubovoľné výbery bodov \(K_i\) je \[\displaystyle\lim_{n\to \infty}S(\textbf{f},D_n)=I,\] tak číslo \(I\) je krivkovým integrálom druhého druhu po krivke \(C\) a označujeme ho \(\displaystyle\int_C \textbf{f}(P)\cdot \textbf{ds}.\)

Vlastnosti krivkových integrálov:

Krivkový integrál po orientovanej a po častiach hladkej krivke pre spojitú reálnu funkciu \(f\) existuje.

Nech  \(C\) je po častiach hladká orientovaná krivka určená parametrickým vyjadrením \(\textbf{r}(t),t\in \left\langle \alpha,\beta\right\rangle\) a nech \(f\) je reálna funkcia definovaná na krivke \(C\). Potom
\[ \int_C f(P) ds=\int_{\alpha}^{\beta}f(O+\textbf{r}(t))\left|\textbf{r}^{'}(t)\right|dt,\]kde krivkový integrál vľavo existuje práve vtedy, keď existuje (Riemannov) integrál vpravo.  

Nech  \(C\) je po častiach hladká orientovaná krivka určená parametrickým vyjadrením \(\textbf{r}(t),t\in \left\langle \alpha,\beta\right\rangle\) a nech \(\textbf{f}\) je vektorová funkcia definovaná na krivke \(C\). Potom \[\int_C \textbf{f}(P)\cdot \textbf{ds}=\pm\int_{\alpha}^{\beta}\textbf{f}(O+\textbf{r}(t))\cdot\textbf{r}^{'}(t)dt,\]kde krivkový integrál vľavo existuje práve vtedy, keď existuje (Riemannov) integrál vpravo.

Nech  \(C_1\) a \(C_2\) sú orientované krivky s navzájom opačnou orientáciou. Ak existuje krivkový integrál z funkcie \(f\) po krivke \(C_1\), tak existuje aj po krivke \(C_2\) a platí \[\int_{C_1} f(P)ds=-\int_{C_2} f(P)ds.\]

Nech  existujú krivkové integrály z funkcií \(f\), \(g\) po krivke \(C\) a nech \(k\in\mathbb{R}\). Potom existujú krivkové integrály z funkcií \(f+g\), \(k.f\) po krivke \(C\) a platí \[\displaystyle\int_{C}\left[f(P)+g(P)\right]ds=\int_{C} f(P)ds+\int_{C} g(P)ds,\] \[\int_{C} k.f(P)ds=k\int_{C} f(P)ds.\]

Nech orientované krivky \(C_1\) a \(C_2\) tvoria delenie krivky \(C\). Ak existuje krivkový integrál funkcie \(f\) po krivkách \(C_1\) a \(C_2\), potom existuje aj krivkový integrál z funkcie \(f\) po krivke \(C\) a platí \[\displaystyle\int_{C} f(P)ds=\int_{C_1} f(P)ds+\int_{C_2} f(P)ds.\]

Nezávislosť krivkového integrálu od integračnej cesty

Nezávislosť krivkového integrálu od integračnej cesty znamená závislosť len od začiatočného bodu \(A\) a koncového bodu \(B\) integračnej cesty. Takéto integrály všeobecne označujeme \[\displaystyle\int_{A}^B \textbf{f}(P)\cdot ds\]

Nech \(\textbf{f}\) je spojitá vektorová funkcia definovaná na oblasti \(G\). Potom krivkový integrál \(\displaystyle\int \textbf{f}(P)\cdot ds\) nezávisí od integračnej cesty na množine práve vtedy, keď existuje funkcia \(U(P)\) taká, že \[\textbf{f}(P)=\hbox{grad}\, U(P)=\frac{\partial U}{\partial x}\textbf{i}+\frac{\partial U}{\partial y}\textbf{j}+\frac{\partial U}{\partial z}\textbf{k}\] na oblasti \(G\).

Nech \(\textbf{f}\) je vektorová funkcia definovaná na množine \(G\). Ak integrál \(\displaystyle\int_{C} \textbf{f}(P)\cdot ds\) nezávisí od integračnej cesty na množine \(G\), tak pre ľubovoľnú uzavretú krivku \(C_0\) z oblasti \(G\) platí \[\displaystyle\oint_{C_0} \textbf{f}(P)\cdot ds=0.\]

Greenova veta:

Nech \(A\) je uzavretá množina s vlastnosťou, že jej hranica \(C\) je kladne orientovaná, jednoduchá, uzavretá a po častiach hladká krivka. Nech funkcie \(f(x,y),g(x,y),f^{'}_x(x,y),g^{'}_y(x,y)\) sú spojité funkcie na \(A\). Potom platí \[\displaystyle\int_{A}\int \left[g^{'}_x(x,y)-f^{'}_y(x,y)\right]dxdy=\oint_{C} f(x,y)dx+g(x,y)dy.\]