Interpolácia

Medzi  základné úlohy numerickej matematiky patrí úloha aproximácie funkcie, t.j. nahradenie reálnej funkcie \(f:A\to \mathbb{R}\) pomocou funkcie \(g:A\subseteq B\to \mathbb{R}\) za predpokladu, že musia mať rovnaké funkčné hodnoty v známych \(n+1\) rôznych bodoch \(x_0,x_1,\dots,x_n\) na intervale \(\left<a,b\right>\). Tieto hodnoty môžu byť napríklad výsledkom merania v nejakom experimente. Dôvodom aproximácie funkcie je zvyčajne neznalosť presného predpisu funkcie \(f(x)\) alebo naopak príliš zložitý predpis funkcie  pre ďalšie výpočty. Konkrétnou úlohou môže byť výpočet určitého integrálu. Aproximačnú funkciu \(g(x)\) hľadáme zvyčajne v tvare \(\displaystyle g(x)=\sum_{i=0}^nc_ig_i(x)\), kde funkcie \(g_i(x)\) sú prevažne polynómy, racionálne funkcie alebo trigonometrické polynómy. Pre nájdenie funkcie \(g(x)\) je potrebné určiť koeficienty \(c_i\)  vhodným spôsobom tak, aby funkcia \(g(x)\) bola čo najbližšie k funkcii \(f(x)\), kde blízkosť aproximujúcej funkcie \(g(x)\) zaručuje podmienka \(g(x_i)=f(x_i)\) pre \(i=0,1,\dots,n\). V praxi sa pre funkciu  \(g(x)\) najčastejšie stanovuje polynóm  \(\displaystyle P_n(x)=\sum_{i=0}^nc_ix^i\) najviac \(n\) - tého stupňa, pre ktorý \(P_n(x_i)=f(x_i)\) pre \(i=0,1,\dots,n\). Zo základného kurzu algebry vieme, že  existuje práve jeden takýto polynóm \(P_n(x)=c_0+c_1x+\dots+c_nx^n\)  stupňa najviac \(n\) vyhovujúci daným podmienkam. Jeho koeficienty by sme našli riešením systému rovníc \[c_0+c_1x_0+\dots+c_nx_0^n=f(x_0)\]\[c_0+c_1x_1+\dots+c_nx_1^n=f(x_1)\]\[\vdots\]\[c_0+c_1x_n+\dots+c_nx_n^n=f(x_n).\]Pri interpolačných resp. aproximačných úlohách sa snažíme  o nájdenie aproximačnej funkcie čo najľahším spôsobom, no výpočet koeficientov \(c_i\)  býva však častokrát veľmi zložitý.