Lagrangeov interpolačný polynóm

Medzi  základné úlohy numerickej matematiky patrí úloha aproximácie funkcie, t.j. nahradenie reálnej funkcie \(f:A\to \mathbb{R}\) pomocou funkcie \(g:A\subseteq B\to \mathbb{R}\) za predpokladu, že musia mať rovnaké funkčné hodnoty v známych \(n+1\) rôznych bodoch \(x_0,x_1,\dots,x_n\). Tieto hodnoty môžu byť napríklad výsledkom merania v experimente. Dôvodom aproximácie funkcie je zvyčajne neznalosť presného predpisu funkcie \(f(x)\) alebo naopak príliš zložitý predpis pre ďalšie použitie. Lagrangeov interpolačný polynóm nahradzuje reálnu funkciu \(f(x)\) polynómom tak, aby sa zachovali rovnaké funkčné hodnoty v známych  rôznych bodoch.

Predpokladajme, že máme \(n+1\) hodnôt  \(f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_n)\) funkcie  \(f(x)\) v rôznych bodoch \(x_0,x_1,\dots,x_n\) na intervale \(\left<a,b\right>\). Pomocou bodov \(x_i\),  ktoré zvykneme nazývať aj uzlové body, definujeme polynómy \(l_i(x)\) v tvare:\[l_i(x)=\frac{(x-x_0)\dots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots (x-x_n)}{(x_i-x_0)\dots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_n)},\quad \hbox{ pre }i=0,1,\dots,n\]resp. v skrátenej forme:\[l_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\ j\neq i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j},\quad \hbox{ pre }i=0,1,\dots,n.\]Lagrangeov interpolačný polynóm \(n\) - tého stupňa definujme predpisom\[L_n(x)=\sum_{i=0}^nf(x_i)l_i(x).\]Chybu, ktorej sme sa pri interpolácii dopustili, vieme odhadnúť pomocou vzťahu:\[|f(x)-L_n(x)|\leq \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}|(x-x_0)\dots (x-x_n)|,\]kde \[M_{n+1}=\sup_{x\in\left<a,b\right>}\left|f^{(n+1)}(x)\right|.\]