Metóda prostej iterácie

Metóda prostej iteracie patrí k iteračným metódam, ktorými hľadáme numerické riešenie nelineárnych rovníc, t.j. reálne korene rovnice \(f(x)=0\), kde \(f(x)\) je spojitá reálna funkcia definovaná na nejakom intervale \((c,d)\). Koreňom rovnice \(f(x)=0\) je číslo \(\alpha\), pre ktoré \(f(\alpha)=0\). Výpočet koreňov začíname metódou separácie koreňov, t.j. určíme intervaly, v ktorých leží práve jeden koreň. 

Separáciou koreňov určíme uzavretý interval \(\left<a,b\right>\), v ktorom leží jeden reálny koreň rovnice \(f(x)=0\). Predpokladajme, že rovnicu \(f(x)=0\) vieme upraviť na tvar \(x=\varphi(x)\), kde \(\varphi(x)\) je reálna funkcia, pre ktorú platí \[\displaystyle\lambda=\max_{x\in\left<a,b\right>}\left|\varphi^{\prime}(x)\right|\lt 1.\]Využitím Banachovej vety o pevnom bode bude iteračný proces \[x_{n+1}=\varphi(x_n)\quad \hbox{pre }n=0,1,2,\dots\] konvergovať k jedinému riešeniu \(\alpha\). Iteračný proces ukončíme, keď \[\left|x_{n+1}-x_n\right|\lt \frac{1-\lambda}{\lambda}\varepsilon,\]kde \(\varepsilon\) je požadovaná presnosť výpočtu. Približná hodnota koreňa je potom rovná \(x_{n+1}\). Odhad chyby výpočtu iterácie \(x_{n+1}\) vykonáme na základe vzťahu \[\left|x_{n+1}-\alpha\right|\leq\frac{\lambda}{1-\lambda}\left|x_{n+1}-x_n\right|,\]kde \(\alpha\) je presná hodnota koreňa.