Richardsonova extrapolácia

Richardsonovu extrapoláciu môžeme aplikovať na dvoch metódach približného výpočtu určitého integrálu. Pre jej lepšie pochopenie odporúčame si podrobnejšie naštudovať lichobežníkovú a Simpsonovu metódu.

Richardsonova extrapolácia pre lichobežníkovú metódu

Predpokladajme, že sme pri výpočte integrálu použili dve rôzne hodnoty \(h_1\) a \(h_2\). Špeciálne nech \(h_1=h\) a \(h_2=\frac{h}{2}\) t.j. \(n_1=n\) a \(n_2=n\). Potom \[I=I_n-\frac{b-a}{12}h_1^2f^{\prime\prime}(\nu_1)=I_n-\frac{b-a}{12}h^2f^{\prime\prime}(\nu_1)\]\[I=I_{2n}-\frac{b-a}{12}h_2^2f^{\prime\prime}(\nu_2)=I_{2n}-\frac{b-a}{12}\frac{h^2}{4}f^{\prime\prime}(\nu_2),\]kde \(\nu_1,\,\nu_2\in\left<a,b\right>\). Za predpokladu, že obidve druhé derivácie sú si rovné dostávame: \[I=I_{2n}+\frac{I_{2n}-I_n}{3}.\]Ak nahradíme presnú hodnotu integrálu \(I\) hodnotou \(I_{2n}\), tak chyba  \(R_{2n}\) bude približne \[R_{2n}\doteq\frac{I_{2n}-I_n}{3}.\]

Pri praktických výpočtoch volíme \(n_1=n\) resp. \(h_1=h\) a vypočítame \(I_n\). Potom zvolíme \(n_2=2n\) resp. \(h_2=\frac{h}{2}\) a vypočítame \(I_{2n}\). Ak nastane situácia, že \[\left|\frac{I_{2n}-I_n}{3}\right|\lt \varepsilon,\]tak položíme  \(I\doteq I_{2n}\) a výpočet končí. V opačnom prípade vypočítame \(I_{4n}\) a porovnáme s \(I_{2n}\). Tento proces po konečnom počte krokov skončí.

Richardsonova extrapolácia pre Simpsonovu metódu

Predpokladajme, že sme pri výpočte integrálu použili dve rôzne hodnoty \(h_1\) a \(h_2\). Špeciálne nech \(h_1=h\) a \(h_2=\frac{h}{2}\) t.j. \(n_1=n\) a \(n_2=n\). Potom \[I=I_n-\frac{b-a}{180}h_1^4f^{(4)}(\nu_1)=I_n-\frac{b-a}{180}h^2f^{(4)}(\nu_1)\]\[I=I_{2n}-\frac{b-a}{180}h_2^4f^{(4)}(\nu_2)=I_{2n}-\frac{b-a}{180}\frac{h^2}{16}f^{(4)}(\nu_2),\]kde \(\nu_1,\,\nu_2\in\left<a,b\right>\). Za predpokladu, že obidve druhé derivácie sú si rovné dostávame: \[I=I_{2n}+\frac{I_{2n}-I_n}{15}.\]Ak nahradíme presnú hodnotu integrálu \(I\) hodnotou \(I_{2n}\), tak chyba  \(R_{2n}\) bude približne \[R_{2n}\doteq\frac{I_{2n}-I_n}{15}.\]

Pri praktických výpočtoch volíme \(n_1=n\) resp. \(h_1=h\) a vypočítame \(I_n\). Potom zvolíme \(n_2=2n\) resp. \(h_2=\frac{h}{2}\) a vypočítame \(I_{2n}\). Ak nastane situácia, že \[\left|\frac{I_{2n}-I_n}{15}\right|\lt \varepsilon,\]tak položíme  \(I\doteq I_{2n}\) a výpočet končí. V opačnom prípade vypočítame \(I_{4n}\) a porovnáme s \(I_{2n}\). Tento proces po konečnom počte krokov skončí.