Runge - Kuttove metódy

Metódy typu Runge - Kutta sú veľmi univerzálne, a tým aj v praxi často používané metódy približného riešenia  počiatočnej (Cauchyho) úlohy diferenciálnej rovnice \[y^{\prime}=f(x,y(x)), \quad y(x_0)=y_0.\quad\quad\quad(\hbox{DR})\] Myšlienkou metódy je  aproximácia funkcie vo vhodne zvolených strategických bodoch. Všeobecná schéma metódy je v tvare: \[y_{n+1}=y_n+\sum_{i=1}^r\alpha_ik_i,\quad\hbox{ pre } n=0,1,\dots,\]kde jednotlivé smernice \(k_i\) určíme podľa rekurzívnych vzťahov: \[k_1=f(x_n,y_n),\]\[k_i=f(x_n+\lambda_ih_n,y_n+\mu_ih_nk_{i-1}),\quad \hbox{ pre } i=2,\dots,r\] a \(\alpha_i\), \(\lambda_i\), \(\mu_i\) sú vhodne zvolené konštanty. Číslo \(r\) je rád príslušnej Runge - Kuttovej metódy. V mnohých prípadoch je \(h_n\) fixná konštanta, a tak \(h_n=h\) sa zvykne označovať ako krok iterácie. V takomto prípade je \(x_{n+1}=x_n+h\), kde \(x_0\) začiatočný bod  z počiatočnej (Cauchyho) úlohy.

Metódy 2. rádu

Najznámejšími metódami Runge - Kutta 2. rádu sú: 

• modifikovaná Eulerova metóda - \[y_{n+1}=y_n+h_nk_2\]kde pre smernice platí:  \[k_1=f(x_n,y_n),\quad k_2=f\left(x_n+\frac{h_n}{2},y_n+\frac{h_n}{2}k_1\right).\]
• Heunova metóda - \[y_{n+1}=y_n+h_n\frac{k_1+k_2}{2},\]kde pre smernice platí:  \[k_1=f(x_n,y_n),\quad k_2=f\left(x_n+h_n,y_n+h_nk_1\right).\]

Metódy 4. rádu

Najpoužívanejšou metódou je metóda Runge - Kutta 4. rádu t.j. pre  \(r=4\) v každom kroku metódy prepočítavame smernice \(k_i\), \(i=1,2,3,4\). Výhodou metódy je nájdenie pomerne presného numerického riešenia diferenciálnej rovnice \(\hbox{(DR)}\), no náročnejší výpočet jednotlivých smerníc je zároveň aj jej  malou nevýhodou. V každom kroku metódy platia nasledovné rekurentné vzťahy:\[y_{n+1}=y_n+h_n\frac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6},\]kde pre smernice platí:  \[k_1=f(x_n,y_n),\quad k_2=f\left(x_n+\frac{h_n}{2},y_n+\frac{h_n}{2}k_1\right),\]\[k_3=f\left(x_n+\frac{h_n}{2},y_n+\frac{h_n}{2}k_2\right),\quad k_4=f\left(x_n+h_n,y_n+h_nk_3\right).\]