Simpsonova metóda

Numerické integrovanie patrí k štandardným aproximačným metódam a používa sa najmä v prípadoch, ak nevieme nájsť k danej integrovanej funkcii \(f(x)\) jej primitívnu funkciu \(F(x)\), a tak je potrebné pre výpočet určitého integrálu \(\displaystyle\int_a^b f(x)dx\) rozdeliť interval \(\left<a,b\right>\) na menšie časti. Na týchto častiach (intervaloch) sa funkcia \(f(x)\) aproximuje Langrangeovým polynóm druhého stupňa, kde uzlovými bodmi sú krajné body intervalu a stred intervalu.

Interval integrovania  \(\left<a,b\right>\) rozdelíme na \(n\) intervalov rovnakej dĺžky  \(h=\frac{b-a}{n}\) s uzlovými bodmi \[a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \dots \lt x_{n-1}\lt x_n=b_n,\]kde \(x_i=x_0+ih\) pre \(i=0,1,\dots,n\). Dôležité je však, aby  \(n\) bolo párne, t.j. \(n=2k\) pre \(k\in\mathbb{N}\). Pre každé \(i=0,1,\dots,\frac{n}{2}-1\) budeme na intervale \[\left<a+2ih,a+(2i+2)h\right>=\left<x_{2i},x_{2i+2}\right>\] funkciu \(f(x)\) aproximovať Langrangeovým interpolačným polynónom druhého stupňa v uzlových bodoch \(x_{2i}\), \(x_{2i+1}\) a \(x_{2i+2}\). Dostávame približnú hodnotu určitého integrálu \[\int_{x_{2i}}^{x_{2i+2}}f(x)dx\approx \int_{x_{2i}}^{x_{2i+2}}L_2(x,x_{2i},x_{2i+1},x_{2i+2})dx=\frac{h}{3}\left[f(x_{2i})+4f(x_{2i+1})+f(x_{2i+2})\right].\]Z aditívnej vlastnosti určitého integrálu potom vyplýva \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{a+2h}f(x)dx+\int_{a+2h}^{a+4h}f(x)dx+\dots+\int_{a+(n-2)h}^{b}f(x)dx=\]\[=\int_{x_0}^{x_2}L_2(x,x_0,x_1,x_2)dx+\dots+\int_{x_{n-2}}^{x_n}L_2(x,x_{n-2},x_{n-1},x_n)dx+R(f)=\]\[=\frac{h}{3}\left[f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{i=1}^k f(x_{2i-1})+2\sum_{i=1}^{k-1}f(x_{2i})\right]+R(f),\]kde \(n=2k\) a pre chybu \(R(f)\), ktorej sme sa dopustili, platí \[R(f)=-\frac{(b-a)^5}{180n^4}f^{(4)}(\xi),\quad\xi\in\left<a,b\right>.\]Pre horný odhad chyby simpsonovej metódy dostávame vzťah \[\left|R(f)\right|\leq\frac{(b-a)^5}{180n^4}M_4,\quad M_4=\max_{x\in\left<a,b\right>}\left|f^{(4)}(x)\right|.\]