Náhodné javy a pravdepodobnosť

Teória pravdepodobnosti sa zaoberá štúdiom zákonitostí náhodných javov resp. náhodných udalostí. Túto pomerne rozsiahlu oblasť matematiky sme rozdelili do nasledovných podsekcií:

Náhodné pokusy a náhodné javy

Uvažujme určitý systém podmienok. Pokusom nazývame každý dej, ktorý je vyvolaný týmto systémom podmienok. Náhodným pokusom je každá činnosť, ktorá sa niekoľkokrát opakuje za rovnakých alebo približne rovnakých podmienok, a ktorej výsledok je neistý, závislý od náhody. Výsledkom pokusu je jav, t.j. každá skutočnosť, ktorá môže nastať pri uskutočnení daného systému podmienok. Náhodný javom nazývame každé tvrdenie o výsledku náhodného pokusu, o ktorom môžeme po uskutočnení pokusu rozhodnúť, či je alebo nie je pravdivé.

Jav, ktorý po vykonaní náhodného pokusu nikdy nenastane, nazývame nemožný jav a označujeme ho \(\emptyset\). Jav, ktorý po vykonaní náhodného pokusu musí vždy nastať, nazývame istý jav a označujeme ho \(I\). Jav, ktorý po vykonaní náhodného pokusu môže, ale nemusí nastať, nazývame náhodný jav. Jav, ktorý sa už nedá rozložiť na ďalšie javy, nazývame elementárny jav. Množinou \(\Omega\) všetkých možných výsledkov náhodného pokusu nazývame priestor elementárnych javov.

Operácie s javmi:

Jav \(A\cup B\) nazývame zjednotením javov \(A\) a \(B\). Jav \(A\cup B\) nastane práve vtedy, keď nastane aspoň jeden z javov \(A\) alebo \(B\).
Jav \(A\cap B\) nazývame prienikom javov \(A\) a \(B\). Jav \(A\cap B\) nastane práve vtedy, keď nastane jav \(A\) a zároveň jav \(B\).
Jav \(\bar{A}\) nazývame opačným javom k javu \(A\). Jav \(\bar{A}\) nastane, ak nenastane jav \(A\).
Jav \(A\subset B\) znamená, že jav \(A\) je podjavom javu \(B\). Ak nastane jav \(A\), tak nastane jav \(B\).
Jav \(A- B\) nazývame rozdielom javov \(A\) a \(B\) v danom poradí. Jav \(A- B\) nastane práve vtedy, keď nastane jav \(A\) a nenastane jav \(B\).
Javy \(A\) a \(B\) nazývame disjunktné javy resp. nezlučiteľné javy, ak nemôžu nastať súčasne t.j. ak \(A\cap B\) je jav nemožný.

Pravdepodobnosť

Základnou úlohou teórie pravdepodobnosti je kvantitatívne ohodnotenie náhodných javov. Aby sme mohli javy medzi sebou kvantitatívne porovnávať, musíme javu priradiť presne určené číslo, ktoré bude tým väčšie, čím väčšia je možnosť výskytu daného javu. Takéto číslo je pravdepodobnosťou toho, že pri realizácii systému podmienok nastane daný jav. Inak povedané, javu \(A\) priradíme jeho pravdepodobnosť \(P(A)\). V pravdepodobnostnej teórii sa stretávame s niekoľkými definíciami pravdepodobnosti. .

Axiomatická definícia pravdepodobnosti:

Nech \(\gamma\neq\emptyset\) je ľubovoľný priestor elementárnych javov a nech \(\tau\) je javové pole nad \(\gamma\). Pravdepodobnosťou javu nazývame ľubovoľnú funkciu \(P:\tau\to\mathbb{R}\), pre ktorú platia nasledovné podmienky (axiómy):

Ak \(A\in\tau\), tak \(P(A)\geq 0\).
\(P(I)=1\), kde \(I\) je jav istý.
Ak \(A_1,A_2,\dots,A_n,\dots\in\tau\) sú navzájom nezlučiteľné javy, tak \[P\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i).\]

Klasická definícia pravdepodobnosti:

Nech priestor všetkých elementárnych javov \(\Omega\) je konečná \(n\) prvková množina a všetky elementárne javy sú rovnako možné. Ak náhodný jav \(A\) má \(m\) priaznivých prípadov, tak potom pravdepodobnosť javu \(A\) definujeme predpisom \(P(A)=\frac{m}{n}\). Inak povedané, pravdepodobnosť javu \(A\) je rovná podielu počtu priaznivých prípadov pre jav \(A\) ku počtu všetkých možných prípadov.

Geometrická definícia pravdepodobnosti:

Geometrická definícia je len malou modifikáciou klasickej definície pravdepodobnosti. V tejto modifikácii sa priestor \(\Omega\) rovnako možných elementárnych javov zmení na geometrickú oblasť, ktorej miera je konečná a je rovná \(\mu(\Omega)\). Časť \(G\) tejto oblasti zodpovedajúca javu \(A\) bude mať mieru \(\mu(G)\). Zmienenou mierou môže byť napr.: dĺžka, plošný obsah alebo objem. Pravdepodobnosť javu \(A\) následne definujeme predpisom \(P(A)=\frac{\mu(G)}{\mu(\Omega)}\).

Vlastnosti pravdepodobnosti:

Pre náhodný jav \(A\) platí: \(0\leq P(A)\leq 1\).
Pre nemožný jav platí: \(P(\emptyset)=0\).
Pre istý jav platí: \(P(I)=1\)
Pre opačný jav \(\bar{A}\), platí: \(P(\bar{A})=1-P(A)\).
Pre náhodné javy \(A\), \(B\) platí: \(P(A - B)=P(A)-P(A\cap B)\).
Pre náhodné javy \(A\), \(B\) platí: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
Pre náhodné javy \(A\), \(B\) také, že \(A\subset B\) platí: \(P(A)\leq P(B)\).

Podmienená pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť javu \(A\) za určitých, ale pevne stanovených podmienok, reprezentuje číslo \(P(A)\). Ak však niekedy potrebujeme nájsť pravdepodobnosť javu \(A\) pri nejakej dodatočnej podmienke, že nastal jav \(B\) (s nenulovou pravdepodobnosťou), tak túto pravdepodobnosť nazývame podmienená pravdepodobnosť. Pravdepodobnosť javu \(A\), za predpokladu, že nastal jav \(B\), definujeme vzťahom: \[P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\hbox{ za predpokladu }P(B)\neq 0.\]

Dôsledkom toho je fakt, že ak sú javy \(A\), \(B\) nezávislé, tak platí:\[P(A/B)=\frac{P(A).P(B)}{P(B)}=P(A).\]

Systém javov \(H_1,H_2,\dots,H_n\) sa nazýva úplný systém nezlučiteľných javov, ak spĺňa podmienky:

\(P(H_i\cap H_j)=0\) pre všetky \(i,j\in\{1,\dots,n\};i\neq j\) - vlastnosť nezlučiteľnosti javov
\(P(H_1\cup H_2\cup \dots \cup H_n)=1\) - vlastnosť úplnosti systému javov

Uvažujme úplný systém nezlučiteľných javov \(H_1,H_2,\dots,H_n\) a náhodný jav \(A\). Z vlastností úplného systému nezlučiteľných javov odvodíme vzťah \(\displaystyle P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\cap H_i)\), a následne po úprave dostávame vzorec pre vetu o úplnej pravdepodobnosti v tvare \(\displaystyle P(A)=\sum_{i=1}^n P(H_i).P(A/ H_i)\).

Problém určenia pravdepodobnosti hypotéz za podmienky, že nastal určitý jav, rieši Bayesov vzorec resp. Bayesova veta vo forme vzťahu \[P(H_i/A)=\frac{P(H_i).P(A/H_i)}{P(A)},\]ktorý môžeme použiť pre každý z javov \(H_i\) z daného systému javov \(H_1,H_2,\dots,H_n\).

Nezávislosť javov

Dva javy budeme považovať za vzájomne nezávislé, ak pravdepodobnosť jedného z nich nezávisí na tom, či druhý jav nastal alebo nenastal alebo ak pravdepodobnosť jedného z nich je nulová. V zmysle matematickej definície, javy \(A\) a \(B\) nazývame vzájomne nezávislými, ak nastane aspoň jeden z nasledovných prípadov: \[P(A/B)=P(A),\quad P(B=0),\quad P(B/A)=P(A), \quad P(A)=0.\]

V mnohých odborných literatúrach sa prívlastok "vzájomne" vynecháva, a používa sa len skrátený tvar: javy sú nezávislé. Javy \(A\) a \(B\), ktoré nie sú nezávislé, sa nazývajú závislé.

Vlastnosti nezávislých javov:

Javy \(A\) a \(B\) sú nezávislé práve vtedy, keď \(P(A\cap B)=P(A).P(B)\).
Ak sú javy \(A\) a \(B\) nezávislé, tak potom sú nezávislé aj dvojice javov: \(A\), \(\bar{B}\); \(\bar{A}\), \(B\) a \(\bar{A}\), \(\bar{B}\).

Systém javov \(A_1,A_2,\dots,A_n\) sa nazýva nezávislý systém javov, ak pravdepodobnosť nastúpenia ľubovoľného z nich sa nemení nastúpením akejkoľvek skupiny z ostatných javov systému alebo keď je pravdepodobnosť jedného z nich nulová.

Vlastnosti systému nezávislých javov:

Systém javov \(A_1,A_2,\dots,A_n\) je nezávislý práve vtedy, keď \(\displaystyle P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)=\prod_{i=1}^n P(A_i)\).
Ak systém javov \(A_1,A_2,\dots,A_n\) je nezávislý, tak \(\displaystyle P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=1-\prod_{i=1}^n P(\bar{A_i})\).

Opakované nezávislé pokusy

Uvažujme situáciu, že uskutočňujeme niekoľko pokusov po sebe. Ak pravdepodobnosť javu \(A\) pri každom takomto opakovaní nezávisí na výsledkoch predchádzajúcich pokusov, tak tieto pokusy nazývame opakovanými nezávislými pokusmi vzhľadom k danému javu \(A\). Príkladom takýchto opakovaných nezávislých pokusov je: opakované hádzanie hracou kockou; opakované strieľanie na terč; opakované vyťahovanie guľôčky z osudia s predpokladom vrátenia danej guľôčky; kontrola nepodarkovosti výrobkov zo sady s predpokladom vrátenia výrobku.

Nech pri \(n\) opakovaných nezávislých pokusoch nastane jav \(A\) s pravdepodobnosťou \(P(A)=p\) pri každom pokuse. Pravdepodobnosť \(P_{n,p}(k)\) toho, že v tejto sérii \(n\) pokusov nastane daný jav \(A\) práve \(k\)-krát je daná Bernoulliho vzorcom: \[P_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\,p^k.(1-p)^{n-k},\] pre \(k=0,1,\dots,n\). V niektorých prípadoch potrebujeme poznať hodnotu \(k\), pre ktorú je pravdepodobnosť \(P_{n,p}(k)\) maximálna, t.j. modus. Hľadanú hodnotu získame zo vzťahu \(k\in\left<n.p+p-1;n.p+p\right>\), kde uvedený interval má jednotkovú dĺžku. V prípade, že jeho krajné body sú celé čísla, tak dostávame dve najpravdepodobnejšie hodnoty.