Gamma rozdelenie

Spojitá náhodná veličina \(X\) má gamma rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \(k\gt 0\), \(\Theta\gt 0\), ak jej hustota pravdepodobnosti \(f(x)\) má tvar: \[f(x)=\frac{x^{k-1}\,e^{-\frac{x}{\Theta}}}{\Theta^k\,\varGamma(k)}\hbox{ pre }x\gt 0,\] kde gamma funkcia \(\varGamma(k)\) je funkcia \[\varGamma(k)=\int_0^{\infty} t^{k-1}e^{-t}dt\]definovaná pre \(k\in\mathbb{C}\) také, že \(\mathcal{Re}(k)\gt 0\).

Ak \(X\) má gamma rozdelenie, tak \[E(X)=k\,\Theta,\;\;\;\;D(X)=k\,\theta^2,\] \[\gamma_1=\frac{2}{\sqrt{k}},\;\;\gamma_2=\frac{6}{k},\;\;\;\widehat{x}=(k-1)\Theta\;\;\hbox{ pre }k\geq 1.\]

Maximálny vierohodný odhad parametra \(\Theta\) je daný vzťahom: \[\Theta=\frac{1}{kN}\sum_{i=1}^N x_i,\] a hodnotu \(k\) určíme napr. pomocou aproximácie \[k\approx\frac{3-s+\sqrt{(s-3)^2+24s}}{12s},\] kde neznámu  \(s\) určíme zo vzťahu \[s=\ln \left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i\right)-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \ln x_i.\]