Hypergeometrické rozdelenie

S hypergeometrickým  rozdelením sa najčastejšie stretávame pri výberoch bez vrátenia. Majme konečný súbor s  \(M\) prvkami, z ktorých \(K\) má sledovanú vlastnosť. Z tohto súboru vyberieme náhodne naraz alebo postupne bez vrátenia \(n\)  prvkov.  Náhodná veličina \(X\)  vyjadruje počet vybraných prvkov, ktoré majú požadovanú vlastnosť. Diskrétna náhodná veličina \(X\) má hypergeometrické rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \(M,\,K,\,n\in\mathbb{N}\), kde \(n\leq M\) a \(K\leq M\), ak nadobúda hodnoty \(\max\{0,K-M+n\}\leq x \leq \min\{K,n\}\) s pravdepodobnosťami: \[P(X=x)=\frac{\binom{K}{x}\binom{M-K}{n-x}}{\binom{M}{n}}\]a stručne zapisujeme \(X\sim Hg(M,K,n)\).

Ak \(X\sim Hg(M,K,n)\), tak \[E(X)=n\,\frac{K}{M},\;\;\;D(X)=\frac{M-n}{M-1}\,\left(1-\frac{K}{M}\right)\,\frac{nK}{M},\] \[\sigma(X)=\sqrt{\frac{M-n}{M-1}\,\left(1-\frac{K}{M}\right)\,\frac{nK}{M}},\] \[F(x)=P(X\lt x)=\sum_{k\lt x} \frac{\binom{K}{k}\binom{M-K}{n-k}}{\binom{M}{n}}\;,\hbox{ pre }x\in \mathbb{R}.\]

Za podmienky \(\frac{n}{M}\lt 0,1\) môžeme pre \(n\to\infty\) hypergeometrické rozdelenie \(Hg(M,K,n)\) aproximovať binomickým rozdelením \(Bi(n,p)\) s parametrami \(n\) a \(p=\frac{K}{M}\).

V prípade, ak \[n\,\frac{K}{M}\,\left(1-\frac{K}{M}\right)\,\frac{M-n}{M-1}\gt 9,\] môžeme hypergeometrické rozdelenie \(Hg(M,K,n)\) aproximovať normálnym rozdelením \(N(\mu,\sigma^2)\) s parametrami \[\mu=n\,\frac{K}{M}\;\;\hbox{ a }\;\;\sigma^2=n\,\frac{K}{M}\,\left(1-\frac{K}{M}\right)\,\frac{M-n}{M-1}.\]