Lognormálne rozdelenie

Spojitá náhodná veličina \(X\) má lognormálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \(\mu\), \(\sigma\), kde \(\sigma\gt 0\), ak jej hustota pravdepodobnosti \(f(x)\) má tvar: \[f(x)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\ln x-\mu}{\sigma}\right)^2},\hbox{ pre }x\gt 0.\]

Ak \(X\) má lognormálne rozdelenie, tak \[E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}},\;\;D(X)=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1),\]  \[\gamma_1=(e^{\sigma^2}+2)\sqrt{e^{\sigma^2}-1},\;\;\;\;\;\gamma_2=e^{4\sigma^2}+2e^{3\sigma^2}+3e^{2\sigma^2}-3.\]

Lognormálne  rozdelenie patrí medzi najčastejšie používané rozdelenie pre jednostranne ohraničené údaje. Maximálne vierohodným odhadom parametra \(\mu\) je \[\widehat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ln x_i,\]maximálne vierohodným vychýleným odhadom parametra \(\sigma^2\) je \[\widehat{\sigma}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\ln x_i-\widehat{\mu})^2\]a maximálne vierohodným nevychýleným odhadom parametra \(\sigma^2\) je \[\widehat{\sigma}=\frac{n}{n-1}\sigma^2.\]

Náhodná premenná \(X\) má lognormálne  rozdelenie s parametrami \(\mu\) a \(\sigma\), ak náhodná premenná \(Y=\ln X\sim N(\mu,\sigma^2)\).