Studentovo \(t\) - rozdelenie

Spojitá náhodná veličina \(X\) má Studentovo \(t\) - rozdelenie pravdepodobnosti s  \(k\)  stupňami voľnosti, kde \(k\in\mathbb{N}\),  ak jej hustota pravdepodobnosti \(f(x)\) má tvar: \[f(x)=\frac{\varGamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\varGamma\left(\frac{1}{2}\right)\varGamma\left(\frac{k}{2}\right)\sqrt{k}}\left(1+\frac{x^2}{k}\right)^{-\frac{k+1}{2}},\hbox{ pre }x\in\mathbb{R}\] a stručne zapisujeme \(X\sim t(k)\).

Ak \(X\sim t(k)\), tak \[E(X)=0\;\; \hbox{ pre }k\gt 1,\] \[D(X)=\frac{k}{k-2},\;\;\;\widehat{x}=\tilde{x}=\gamma_1=0\;\;\; \hbox{ pre }k\gt 2,\] \[\gamma_2=\frac{3k-6}{k-4} \;\;\;\hbox{ pre }k\gt 4,\]

Kritické hodnoty Studentovho \(t\) - rozdelenia  sú dôležitou súčasťou pri hľadaní intervalových odhadov neznámych parametrov základného súboru a pri testovaní viacerých štatistických hypotéz. Pre \(X\sim t(k)\) je  kritickou hodnotou  náhodnej premennej \(X\) hodnota \(t_\alpha(k)\), pre ktorú platí: \[P(\left |X\right |\gt t_{\alpha}(k))=\alpha.\] Kritické hodnoty získame zo štatistických tabuliek pre Studentovo rozdelenie alebo prostredníctvom vhodného matematického softwéru. Studentovo \(t\) - rozdelenie \( t(k)\) sa dá pre \(k\gt 30\) dobre aproximovať normálnym rozdelením. Ak \(X\sim N(0,1)\) a  \(Y\sim \chi^2(n)\), pričom \( X\) a  \( Y\) sú nezávislé, tak pre náhodnú premennú \( Z=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\) platí: \(Z\sim t(n)\). Zovšeobecnením Studentovho \(t\) - rozdelenia je necentrálne \(t\) - rozdelenie. Ak \(X\sim N(\sigma,1)\) a  \(Y\sim \chi^2(n)\), pričom \( X\) a  \( Y\) sú nezávislé, tak náhodná premenná \( Z=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\) má necentrálne Studentovo \(t\) - rozdelenie s parametrami \( \sigma\) a  \( n\).