Bernoulliho diferenciálna rovnica

Bernoulliho diferenciálna rovnica (skrátene BDR) je rovnica \[y^{\prime}+p(x)y=q(x)y^{\alpha},\]kde \(p(x)\) a \(q(x)\) sú funkcie definované na intervale \(I\) a \(q(x)\) sa nerovná  nule pre každé \(x\in I\), číslo \(\alpha\) je rôzne od \(0\) a \(1\). 

• Ak \(\alpha=0\), tak  rovnica \(y^{\prime}+p(x)y=q(x)\) je lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu s nenulovou pravou stranou.
• Ak  \(\alpha=1\), tak  rovnicu \(y^{\prime}+p(x)y=q(x)y^{1}\) upravíme na tvar \(y^{\prime}+\left[p(x)-q(x)\right]y=0\) a následne riešime ako lineárnu diferenciálnu rovnicu 1. rádu s nulovou pravou stranou. 

Za predpokladu, že číslo \(\alpha\) je rôzne od \(0\) a \(1\), substitúciou \(z=y^{1-\alpha}\) a  vzťahom z nej vyplývajúcim  \(z^{\prime}=(1-\alpha)y^{-\alpha}y^{\prime}\)  prevedieme pôvodnú diferenciálnu rovnicu na lineárnu diferenciálnu rovnicu  1. rádu v  tvare \[z^{\prime}+(1-\alpha)p(x)z=(1-\alpha)q(x).\]

Postup prevodu BDR na LDR použitím substitúcie  \(z=y^{1-\alpha}\): \[y^{\prime}+p(x)y=q(x)y^{\alpha}\quad /:y^{\alpha}\] \[\frac{y^{\prime}}{y^{\alpha}}+p(x)y^{1-\alpha}=q(x) \quad /.(1-\alpha)\] \[(1-\alpha)\frac{y^{\prime}}{y^{\alpha}}+(1-\alpha)p(x)y^{1-\alpha}=(1-\alpha)q(x) \quad /\hbox{dosadenie}\] \[z^{\prime}+(1-\alpha)p(x)z=(1-\alpha)q(x)\]