Lagrange - d'Alemberova diferenciálna rovnica

Lagrange - d'Alembertova diferenciálna rovnica (skrátene LdADR) je rovnica \[y=f(y^{\prime})x+g(y^{\prime}),\quad\quad\quad (1)\]kde \(f\) a  \(g\)  sú spojité funkcie na intervale \(J\),  pričom obe nie sú konštanty. V špeciálnom prípade, ak \(f(y^{\prime})=y^{\prime}\) pre všetky \(y^{\prime}\in J\),  diferenciálna rovnica \[y=y^{\prime}x+g(y^{\prime})\quad\quad\quad (2)\]sa zvykne označovať aj ako Clairautova diferenciálna rovnica.

Metóda derivovania

Všetky riešenia diferenciálnej rovnice \((1)\) vieme nájsť pomocou metódy derivovania. Nech \(f\) a  \(g\)  sú diferencovateľné funkcie na intervale \(J\). Substitúciou \(y^{\prime}=t\) a derivovaním rovnice \((1)\) podľa premennej \(x\) prevedieme diferenciálnu rovnicu \((1)\) na rovnicu v tvare \[t=xf^{\prime}(t)\frac{dt}{dx}+f(t)+g^{\prime}(t)\frac{dt}{dx}.\quad\quad\quad (3)\]Za predpokladu \(t\neq f(t)\) ju následne vieme upraviť na lineárnu diferenciálnu rovnicu 1.rádu s pravou stranou a premennej \(x=x(t)\) \[x^{\prime}=\frac{f^{\prime}(t)}{t-f(t)}x+\frac{g^{\prime}(t)}{t-f(t)}.\quad\quad\quad (4)\]Jej riešenie dostaneme vyjadrením neznámej \(x\) pomocou parametra \(t\) parametrickými rovnicami  \[x=\varphi(t),\;\;\;\;y=f(t)\varphi(t)+g(t),\]kde \(t\in J\) a funkcia \(x=\varphi(t)\) má inverznú funkciu na intervale \(J\). V prípade podmienky \(t\neq f(t)\), ak pre funkciu \(f\) v nejakom bode platí: \(f(c)=c\), tak funkcia \(y=xf(c)+g(c)\) je singulárnym riešením diferenciálnej rovnice \((1)\).