Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu s konštantnými koeficientami

Nech \(f(x)\) je spojitá funkcia na intervale \(J\) a \(a_i\in\mathbb{R}\), pre \(i=1,\dots,n\).  Lineárna diferenciálna rovnica \(n\)-tého rádu s konštantnými koeficientami  je rovnica \[y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}y^{'}+a_ny=f(x). \;\;\;\;\;\;\; (1)\] Ak \(f(x)=0\), tak diferenciálna rovnica tvaru \[y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}y^{'}+a_ny=0, \;\;\;\;\;\;\; (2)\] je lineárna diferenciálna rovnica \(n\)-tého rádu s konštantnými koeficientami s nulovou pravou stranou alebo lineárna diferenciálna rovnica \(n\)-tého rádu s konštantnými koeficientami bez pravej strany. 

Charakteristická rovnica a charakteristické korene

Charakteristickou rovnicou diferenciálnej rovnice \((2)\) je rovnica \[r^n+a_1r^{n-1}+\dots+a_{n-1}r+a_n=0, \;\;\;\;\;\;\; (CH)\]a jej korene sú charakteristické korene.

Funkcia \(e^{rx}\) je riešením  diferenciálnej rovnice \((2)\) vtedy a len vtedy, ak \(r\) je koreňom algebraickej rovnice \((CH)\).

Nech \(r_1,r_2,\dots,r_n\) sú navzájom rôzne reálne charakteristické korene rovnice \((CH)\). Potom všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice \((2)\) je tvaru \[y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+\dots+c_ne^{r_nx},\]kde \(c_1,\dots,c_n\) sú reálne konštanty.

Nech \(r\) je \(k\)-násobným charakteristickým koreňom rovnice \((CH)\). Potom funkcie \(e^{rx},xe^{rx},\dots,x^{k-1}e^{rx}\) sú lineárne nezávislé riešenia diferenciálnej rovnice \((2)\).

Nech \(z(x)=u(x)+iv(x)\) je komplexná funkcia reálnej premennej a nech je riešením  diferenciálnej rovnice \((2)\). Potom reálne funkcie \(u(x)\), \(v(x)\) sú lineárne nezávislými riešeniami diferenciálnej rovnice \((2)\) a platí:\[e^{(\alpha+i\beta) x}=e^{\alpha x}\cos \beta x+ie^{\alpha x}\sin \beta x,\] \[\hbox{Re}\;e^{(\alpha+i\beta) x}=e^{\alpha x}\cos \beta x;\quad \hbox{Im}\; e^{(\alpha+i\beta) x}=e^{\alpha x}\sin \beta x.\]

Nech \(r=\alpha+i\beta\) je \(k\)-násobným charakteristickým koreňom rovnice \((CH)\). Potom funkcie \[e^{\alpha x}\cos\beta x,xe^{\alpha x}\cos\beta x,\dots,x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\beta x\] \[e^{\alpha x}\sin\beta x,xe^{\alpha x}\sin\beta x,\dots,x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\beta x\] sú lineárne nezávislé riešenia diferenciálnej rovnice \((2)\).

Diferenciálna rovnica so špeciálnou pravou stranou

Riešenie \(y^{*}\) diferenciálnej rovnice \((1)\) vieme zistiť bez integrovania  na základe špeciálneho tvaru pravej strany rovnice, t.j. funkcie \(f(x)\). Rozlišujeme nasledovné špeciálne tvary:

• Ak \(f(x)=P_m(x)e^{\alpha x}\), kde \(\alpha\) je \(k\)-násobným charakteristickým koreňom ku príslušnej diferenciálnej rovnici \((1)\) a \(k\geq 0\), tak riešenie \(y^{*}\) rovnice \((1)\) má tvar \(y^{*}=x^kQ_m(x)e^{\alpha x}\).
• Ak \(f(x)=e^{\alpha x}\left[P_{m_1}(x)\cos \beta x+P_{m_2}(x)\sin \beta x\right]\), kde \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\) a \(\beta\neq 0\), \(k\geq 0\) je násobnosť charakteristického koreňa \(\alpha\) ku príslušnej diferenciálnej rovnici \((1)\), tak riešenie \(y^{*}\) rovnice \((1)\) má tvar \(y^{*}=x^ke^{\alpha x}\left[Q_m(x)\cos \beta x+R_m(x)\sin \beta x\right]\), kde \(m=\max\{m_1,m_2\}\).
• Nech  \(L(y)=y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\dots+a_ny \). Ak \(f(x)=f_1(x)+f_2(x)\) a \(y_i^{*}\) je riešenie diferenciálnej rovnice  \(L(y)=f_i(x)\), pre \(i=1,2\), tak \(y^{*}=y_1^{*}+y_2^{*}\).

Langrageova metóda variácie konštánt

Touto metódou môžeme nájsť jedno riešenie \(y^{*}\) diferenciálnej rovnice \((1)\) bez ohľadu na špeciálny resp. nešpeciálny tvar pravej strany rovnice, t.j. funkcie \(f(x)\).

Nech pre rovnicu \((2)\) je \(\hbox{F.S.R.}=\{y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)\}\). Ak všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice \((2)\) je v tvare \(\displaystyle y=\sum_{i=1}^n c_i\,y_i(x)\), kde \(c_i\in\mathbb{R}\) pre \(i=1,2\dots,n\), tak potom riešenie \(y^{*}\) diferenciálnej rovnice \((1)\) hľadáme v tvare \(\displaystyle y^{\ast}=\sum_{i=1}^n c_i(x)y_i(x)\), kde funkcie \(c_i(x)\) určíme zo vzťahu   \[\displaystyle c_i(x)=\int \frac{W_i(x)}{W(x)}dx,\quad\hbox{ pre } i=1,2\dots,n\]pričom
\[W(x)=W(y_1(x),\dots,y_n(x))=\begin{vmatrix}y_1(x),& y_2(x),&\dots, &y _n(x)\\y_1^{'}(x),& y_2^{'}(x),&\dots, & y_n^{'}(x)\\
\dots& \dots&\dots & \dots\\y_1^{(n-1)}(x),& y_2^{(n-1)}(x),&\dots, &y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}\]je wronskián  prislúchajúci \(\hbox{F.S.R.}=\{y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)\}\) a \(W_i(x)\) dostaneme z \(W(x)\) zámenou \(i\)-teho stĺpca stĺpcom \((0,0,\dots,f(x))^T\) .