Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu s konštantnými koeficientami

Nech $f(x)$ je spojitá funkcia na intervale $J$ a $a_i\in\mathbb{R}$, pre $i=1,\dots,n$.  Lineárna diferenciálna rovnica $n$-tého rádu s konštantnými koeficientami  je rovnica $$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}y^{'}+a_ny=f(x). \;\;\;\;\;\;\; (1)$$ Ak $f(x)=0$, tak diferenciálna rovnica tvaru $$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}y^{'}+a_ny=0, \;\;\;\;\;\;\; (2)$$ je lineárna diferenciálna rovnica $n$-tého rádu s konštantnými koeficientami s nulovou pravou stranou alebo lineárna diferenciálna rovnica $n$-tého rádu s konštantnými koeficientami bez pravej strany. 

Charakteristická rovnica a charakteristické korene

Charakteristickou rovnicou diferenciálnej rovnice $(2)$ je rovnica $$r^n+a_1r^{n-1}+\dots+a_{n-1}r+a_n=0, \;\;\;\;\;\;\; (CH)$$ a jej korene sú charakteristické korene.

Funkcia $e^{rx}$ je riešením  diferenciálnej rovnice $(2)$ vtedy a len vtedy, ak $r$ je koreňom algebraickej rovnice $(CH)$.

Nech $r_1,r_2,\dots,r_n$ sú navzájom rôzne reálne charakteristické korene rovnice $(CH)$. Potom všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice $(2)$ je tvaru $$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+\dots+c_ne^{r_nx},$$ kde $c_1,\dots,c_n$ sú reálne konštanty.

Nech $r$ je $k$-násobným charakteristickým koreňom rovnice $(CH)$. Potom funkcie $e^{rx},xe^{rx},\dots,x^{k-1}e^{rx}$ sú lineárne nezávislé riešenia diferenciálnej rovnice $(2)$.

Nech $z(x)=u(x)+iv(x)$ je komplexná funkcia reálnej premennej a nech je riešením  diferenciálnej rovnice $(2)$. Potom reálne funkcie $u(x)$, $v(x)$ sú lineárne nezávislými riešeniami diferenciálnej rovnice $(2)$ a platí: $$e^{(\alpha+i\beta) x}=e^{\alpha x}\cos \beta x+ie^{\alpha x}\sin \beta x,$$ $$\hbox{Re}\;e^{(\alpha+i\beta) x}=e^{\alpha x}\cos \beta x;\quad \hbox{Im}\; e^{(\alpha+i\beta) x}=e^{\alpha x}\sin \beta x.$$

Nech $r=\alpha+i\beta$ je $k$-násobným charakteristickým koreňom rovnice $(CH)$. Potom funkcie $$e^{\alpha x}\cos\beta x,xe^{\alpha x}\cos\beta x,\dots,x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\beta x$$ $$e^{\alpha x}\sin\beta x,xe^{\alpha x}\sin\beta x,\dots,x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\beta x$$ sú lineárne nezávislé riešenia diferenciálnej rovnice $(2)$.

Diferenciálna rovnica so špeciálnou pravou stranou

Riešenie $y^{*}$ diferenciálnej rovnice $(1)$ vieme zistiť bez integrovania  na základe špeciálneho tvaru pravej strany rovnice, t.j. funkcie $f(x)$. Rozlišujeme nasledovné špeciálne tvary:

• Ak $f(x)=P_m(x)e^{\alpha x}$, kde $\alpha$ je $k$-násobným charakteristickým koreňom ku príslušnej diferenciálnej rovnici $(1)$ a $k\geq 0$, tak riešenie $y^{*}$ rovnice $(1)$ má tvar $y^{*}=x^kQ_m(x)e^{\alpha x}$.
• Ak $f(x)=e^{\alpha x}\left[P_{m_1}(x)\cos \beta x+P_{m_2}(x)\sin \beta x\right]$, kde $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$ a $\beta\neq 0$, $k\geq 0$ je násobnosť charakteristického koreňa $\alpha$ ku príslušnej diferenciálnej rovnici $(1)$, tak riešenie $y^{*}$ rovnice $(1)$ má tvar $y^{*}=x^ke^{\alpha x}\left[Q_m(x)\cos \beta x+R_m(x)\sin \beta x\right]$, kde $m=\max\{m_1,m_2\}$.
• Nech  $L(y)=y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\dots+a_ny$. Ak $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ a $y_i^{*}$ je riešenie diferenciálnej rovnice  $L(y)=f_i(x)$, pre $i=1,2$, tak $y^{*}=y_1^{*}+y_2^{*}$.

Langrageova metóda variácie konštánt

Touto metódou môžeme nájsť jedno riešenie $y^{*}$ diferenciálnej rovnice $(1)$ bez ohľadu na špeciálny resp. nešpeciálny tvar pravej strany rovnice, t.j. funkcie $f(x)$.

Nech pre rovnicu $(2)$ je $\hbox{F.S.R.}=\{y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)\}$. Ak všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice $(2)$ je v tvare $\displaystyle y=\sum_{i=1}^n c_i\,y_i(x)$, kde $c_i\in\mathbb{R}$ pre $i=1,2\dots,n$, tak potom riešenie $y^{*}$ diferenciálnej rovnice $(1)$ hľadáme v tvare $\displaystyle y^{\ast}=\sum_{i=1}^n c_i(x)y_i(x)$, kde funkcie $c_i(x)$ určíme zo vzťahu   $$\displaystyle c_i(x)=\int \frac{W_i(x)}{W(x)}dx,\quad\hbox{ pre } i=1,2\dots,n$$ pričom
$$W(x)=W(y_1(x),\dots,y_n(x))=\begin{vmatrix}y_1(x),& y_2(x),&\dots, &y _n(x)\\y_1^{'}(x),& y_2^{'}(x),&\dots, & y_n^{'}(x)\\ \dots& \dots&\dots & \dots\\y_1^{(n-1)}(x),& y_2^{(n-1)}(x),&\dots, &y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}$$ je wronskián  prislúchajúci $\hbox{F.S.R.}=\{y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)\}$ a $W_i(x)$ dostaneme z $W(x)$ zámenou $i$-teho stĺpca stĺpcom $(0,0,\dots,f(x))^T$ .