Lineárna diferenciálna rovnica

Lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu s nenulovou pravou stranou (skrátene LDR) je rovnica \[y^{\prime}+p(x)y=q(x),\quad\quad\quad (1)\]kde \(p(x)\) a \(q(x)\) sú funkcie definované na intervale \(I\) a \(q(x)\) sa nerovná  nule pre každé \(x\in I\). Ak sa \(q(x)=0\) pre každé \(x\in I\), potom diferenciálna rovnica \[y^{\prime}+p(x)y=0,\quad\quad\quad (2)\]je lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu s nulovou pravou stranou alebo lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu bez pravej strany. Ak \(p(x)\) a \(q(x)\) sú spojité funkcie na intervale \((a,b)\), tak všeobecným riešením lineárnej diferenciálnej rovnice \((1)\) je funkcia \[y=\left[\int q(x) e^{\int p(x)dx}dx+C\right]e^{-\int p(x)dx},\]kde \(C\) je ľubovoľná reálna konštanta.

Metóda variácie konštánt

Jedným zo spôsobov ako vyriešiť lineárnu diferenciálnu rovnicu  \((1)\) je metóda variácie konštánt. Diferenciálna rovnica  \((2)\) je separovateľná diferenciálna rovnica a jej všeobecné riešenie je  v tvare \[y=Ce^{-\int p(x)dx},\]kde \(C\) je ľubovoľná reálna konštanta. Metóda variácie konštánt spočíva v zmene konštanty \(C\) na funkciu \(C(x)\), a tak všeobecným riešením diferenciálnej rovnice   \((1)\) je funkcia \[y=C(x)e^{-\int p(x)dx},\quad\quad\quad (3)\]kde neznámu funkciu \(C(x)\) určíme z podmienky, aby bola funkcia \((3)\) riešením lineárnej diferenciálnej rovnice  \((1)\). Keďže riešením rovnice \((1)\) je každá funkcia, ktorá po dosadení vyhovuje rovnici, tak predpis funkcie  \((3)\) a jej  derivácie \(y^{\prime}\) dosadíme do diferenciálnej rovnice  \((1)\) a následnými úpravami a integráciou určíme tvar hľadanej funkcie \(C(x)\).