Obyčajná diferenciálna rovnica

Diferenciálna rovnica 1.rádu  je rovnica tvaru \[F(x,y,y^{\prime})=0.\quad\quad\quad (1)\] Diferenciálnu rovnicu 1.rádu môžeme vyjadriť v základnom tvare \[y^{\prime}=f(x,y).\quad\quad\quad (2)\]Funkcia \(f(x,y)\)  definovaná na oblasti \(\varOmega\) spĺňa na oblasti \(\varOmega\) Lipschitzovu podmienku vzhľadom na \(y\) s konštantou \(L\), ak pre každé dva body \((x,y)\) a \((x,\overline{y})\) z oblasti \(\varOmega\) platí: \[\left|f(x,\overline{y})-f(x,y)\right|\leq L\, \left|\overline{y}-y\right|.\]

Postačujúca podmienka pre Lipschitzovu podmienku:

Ak funkcia \(f(x,y)\)  má na oblasti \(\varOmega\) ohraničenú parciálnu deriváciu podľa \(y\), tak na oblasti \(\varOmega\) spĺňa Lipschitzovu podmienku.

Riešenie diferenciálnej rovnice \((2)\)

Predpokladom k existencii nejakého riešenia  diferenciálnej rovnice \((2)\) sú určité podmienky, ktorým musí vyhovovať funkcia  \(f(x,y)\)  na oblasti  \(\varOmega\).

Ak na oblasti \(\varOmega=(x_0-a,x_0+a)\times (y_0-b,y_0+b)\), kde \(a,b\in\mathbb{R}^+\) je funkcia \(f(x,y)\)

tak diferenciálna rovnica \((2)\) má práve jedno riešenie \(y=\varphi(x)\) vyhovujúce podmienke \(y_0=\varphi(x_0)\)  na intervale \((x_0-c,x_0+c)\), kde \(\displaystyle c=\min\left\{a,\frac{b}{K}\right\}\).