Riccatiho diferenciálna rovnica

Riccatiho diferenciálna rovnica (skrátene RDR) je rovnica \[y^{\prime}=p(x)y^2+q(x)y+r(x),\quad\quad\quad (1)\]kde \(p(x)\), \(q(x)\) a \(r(x)\) sú spojité funkcie na intervale \(J\). 

• Ak pre všetky \(x\in J\) je \(r(x)=0\), tak  rovnica \(y^{\prime}=p(x)y^2+q(x)y\) je Bernoulliho diferenciálna rovnica.
• Ak pre všetky \(x\in J\) je \(p(x)=0\), tak  rovnica \(y^{\prime}=q(x)y+r(x)\) je lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu .

Za predpokladu, že \(y_0\) je jedno riešenie Riccatiho diferenciálnej rovnice \((1)\) v intervale  \(J\), a  \(z\)  je ľubovoľné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice 1.rádu \[z^{\prime}+\left[2p(x)y_0+q(x)\right]z=-p(x),\;\;x\in J,\quad\quad\quad (2)\] potom každá funkcia v tvare \(\displaystyle y=y_0+\frac{1}{z}\) je riešením diferenciálnej rovnice  \((1)\). Platí to aj obrátene, ku každému riešeniu \(y\neq y_0\) Riccatiho diferenciálnej rovnice \((1)\) existuje riešenie \(z\) diferenciálnej rovnice \((2)\), pre ktoré platí \(\displaystyle y=y_0+\frac{1}{z}\).

Analogicky, ak zvolíme \( y=y_0+u\), tak \(u\) je riešenie Bernoulliho diferenciálnej rovnice \[u^{\prime}=\left[2p(x)y_0+q(x)\right]u+p(x)u^2,\;\;x\in J.\quad\quad\quad (3)\]

Vlastnosť riešení RDR:

Ak \(y_0\), \(y_1\) sú dve rôzne riešenia Riccatiho diferenciálnej rovnice \((1)\) v intervale  \(J\), potom každé riešenie rovnice má tvar \[y=y_0+\frac{y_1-y_0}{1+z(y_1-y_0)},\]kde  \(z\) je všeobecné riešenie lineárnej  diferenciálnej rovnice 1.rádu s nulovou pravou stranou v tvare \[z^{\prime}+\left[2p(x)y_0+q(x)\right]z=0.\]V prípade troch rôznych riešení Riccatiho diferenciálnej rovnice \((1)\) v intervale  \(J\) vieme každé riešenie diferenciálnej rovnice nájsť bez nejakého integrovania.