Metóda polovičného delenia intervalu

Metóda polovičného delenia intervalu alebo bisekcia patrí k iteračným metódam, ktorými hľadáme numerické riešenie nelineárnych rovníc, t.j. reálne korene rovnice $f(x)=0$, kde $f(x)$ je spojitá reálna funkcia definovaná na nejakom intervale $(c,d)$. Koreňom rovnice $f(x)=0$ je číslo $\alpha$, pre ktoré $f(\alpha)=0$. Výpočet koreňov začíname metódou separácie koreňov, t.j. určíme intervaly, v ktorých leží práve jeden koreň. 

Vlasnosť spojitej funkcie:

Nech $f(x)$ je reálna spojitá funkcia na intervale $\left<a,b\right>$. Ak $f(a).f(b)\lt 0$, tak existuje $c\in(a,b)$ také, že $f(c)=0$.

Nech separáciou koreňov je určený uzavretý interval $\left<a,b\right>$, v ktorom leží jeden reálny koreň rovnice $f(x)=0$. V nultom kroku označme $a_0=a$ a $b_0=b$. Vypočítame číslo $c$ ako stred intervalu $\left<a,b\right>$, t.j. v tvare $c=\frac{a+b}{2}$. Ak $f(c)=0$, tak $c$ je koreňom rovnice. Ak však $f(c)\neq 0$, zvolíme jeden z intervalov $\left<a,c\right>$, $\left<c,b\right>$ tak, aby funkcia $f(x)$ mala v jeho hraničných bodoch opačné znamienka. Novovzniknutý interval bude aktuálnym intervalom v ďalšom kroku iterácie. Ak už bude dĺžka aktuálneho intervalu menšia ako zadaná presnosť  $\varepsilon$, tak výpočet končí a číslo $c$ bude približnou hodnotou koreňa $\alpha$. Počet polovičných delení resp. počet iteračných krokov $n$ určíme pomocou vzťahu $$\frac{b-a}{\varepsilon}\lt 2^{n+1}.$$ Odhad chyby výpočtu vykonáme na základe vzťahu $$\left|c_n-\alpha\right|\lt\frac{b-a}{2^{n+1}},$$ kde $c_n$ je stred posledného iteračného intervalu $\left<a_n,b_n\right>$ a $\alpha$ je presná hodnota koreňa.