Metóda polovičného delenia intervalu

Metóda polovičného delenia intervalu alebo bisekcia patrí k iteračným metódam, ktorými hľadáme numerické riešenie nelineárnych rovníc, t.j. reálne korene rovnice \(f(x)=0\), kde \(f(x)\) je spojitá reálna funkcia definovaná na nejakom intervale \((c,d)\). Koreňom rovnice \(f(x)=0\) je číslo \(\alpha\), pre ktoré \(f(\alpha)=0\). Výpočet koreňov začíname metódou separácie koreňov, t.j. určíme intervaly, v ktorých leží práve jeden koreň. 

Vlasnosť spojitej funkcie:

Nech \(f(x)\) je reálna spojitá funkcia na intervale \(\left<a,b\right>\). Ak \(f(a).f(b)\lt 0\), tak existuje \(c\in(a,b)\) také, že \(f(c)=0\).

Nech separáciou koreňov je určený uzavretý interval \(\left<a,b\right>\), v ktorom leží jeden reálny koreň rovnice \(f(x)=0\). V nultom kroku označme \(a_0=a\) a \(b_0=b\). Vypočítame číslo \(c\) ako stred intervalu \(\left<a,b\right>\), t.j. v tvare \(c=\frac{a+b}{2}\). Ak \(f(c)=0\), tak \(c\) je koreňom rovnice. Ak však \(f(c)\neq 0\), zvolíme jeden z intervalov \(\left<a,c\right>\), \(\left<c,b\right>\) tak, aby funkcia \(f(x)\) mala v jeho hraničných bodoch opačné znamienka. Novovzniknutý interval bude aktuálnym intervalom v ďalšom kroku iterácie. Ak už bude dĺžka aktuálneho intervalu menšia ako zadaná presnosť  \(\varepsilon\), tak výpočet končí a číslo \(c\) bude približnou hodnotou koreňa \(\alpha\). Počet polovičných delení resp. počet iteračných krokov \(n\) určíme pomocou vzťahu \[\frac{b-a}{\varepsilon}\lt 2^{n+1}.\]Odhad chyby výpočtu vykonáme na základe vzťahu \[\left|c_n-\alpha\right|\lt\frac{b-a}{2^{n+1}},\]kde \(c_n\) je stred posledného iteračného intervalu \(\left<a_n,b_n\right>\) a \(\alpha\) je presná hodnota koreňa.