Náhodná veličina (premenná)

Pojem náhodnej veličiny

V pravdepodobnostnej teórii sa jednotlivým javom priraďovali číselné hodnoty a  výsledkom pokusu bolo nejaké číslo, ktorého hodnota bola jednoznačne určená elementárnym javom. Priradenie však nemusí byť jednoznačné, a tak rôznym elementárnym javom môže byť priradené to isté číslo. Podobne by to mohlo byť aj v prípade náhodných pokusov, ktorých výsledok má kvalitatívny charakter. Napr.: Ak je pozitívny výsledok, priradíme číslo \(1\). V prípade negatívneho výsledku, priradíme číslo \(0\). Pôvodné náhodné javy nahradíme určitými hodnotami \(x\) nejakej premennej veličiny \(X\), ktorú nazývame náhodnou veličinou (premenou). Podľa dohody sa náhodné veličiny označujú veľkými písmenami \(X\), \(Y\), \(Z\) a hodnoty náhodných premenných malými písmenami \(x,\, y,\, z\). V rôznych aplikáciách sa stretávame s náhodnými veličinami dvojakého typu:

1. Diskrétna náhodná veličina - môže nadobúdať len hodnoty  z konečnej alebo spočítateľnej množiny. Napr.: počet študentov 1. ročníka na fakulte; počet dievčat medzi žiakmi v triede; počet chybných nepodarkov medzi \(n\) náhodne vybranými výrobkami zo sady; počet zákazníkov, ktorí prídu do predajne za daný čas.
2. Spojitá náhodná veličina - môže nadobúdať všetky hodnoty z konečného alebo nekonečného intervalu reálnych čísel. Napr.: životnosť stroja; doba čakania zákazníka na obsluhu; doba bezporuchového chodu zariadenia; čas potrebný na vykonanie výrobnej operácie.

Rozdelenie náhodnej veličiny

Každá náhodná veličina je jednoznačne určená svojimi pravdepodobnostnými zákonitosťami, a tak  je potrebné stanoviť číselné hodnoty,  ktoré môže daná náhodná veličina nadobúdať a taktiež s akou pravdepodobnosťou ich nadobúda. Takéto pravidlo pre náhodnú veličinu, ktoré každej hodnote, resp. množine hodnôt z intervalu priradí konkrétnu pravdepodobnosť, nazývame rozdelenie náhodnej veličiny. Pravdepodobnostné správanie sa  náhodnej veličiny \(X\)  môže byť popísané napr. distribučnou funkciou, označenie \(F\), ktorá každému reálnemu číslu \(x\) priraďuje pravdepodobnosť toho, že náhodná veličina \(X\) nadobudne hodnoty menšie ako toto číslo \(x\).  Pre každé reálne číslo \(x\) je určená predpisom: \(F(x)=P(X\lt x )\).

1. Rozdelenie diskrétneho typu - náhodná veličina \(X\) sa nazýva diskrétna, ak hodnoty \(x_1,\dots,x_n\) nadobúda s pravdepodobnosťami \(p_1,\dots,p_n\) a platí: \[p_i=P(X=x_i) \;\;\;\;\;\;\;\sum_{i=1}^{n\,(\infty)}p_i=1.\] Pre distribučnú funkciu \(F(x)\) náhodnej veličiny \(X\) platí: \(\displaystyle F(x)=\sum_{x_i\lt x}p_i\).
2. Rozdelenie spojitého typu - náhodná veličina \(X\) sa nazýva spojitá, ak existuje reálna, nezáporná funkcia \(f(x)\) a pre distribučnú funkciu \(F(x)\) náhodnej veličiny \(X\) platí: \(\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\,dt\) pre každé reálne číslo \(x\). Funkcia \(f(x)\) sa nazýva hustota pravdepodobnosti a platí: \[f(x)\geq 0\;\;\;\;\;\;\;\;\; \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.\]

Nasledovný obrázok bližšie interpretuje geometrický význam distribučnej funkcie, hustoty a pravdepodobnosti náhodnej veličiny.

Vlastnosti distribučnej funkcie \(F(x)\) náhodnej veličiny \(X\):

• pre každé  \(x\in \mathbb{R}\) platí: \(0\leq F(x)\leq 1\),
•  \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}F(x)=0\)  a \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}F(x)=1\) ,
• pre každé dve čísla \(a,\, b\) také, že: \(a \lt b\) platí: \(P(a\leq x\lt b)=F(b)-F(a)\),
• funkcia \(F(x)\) je neklesajúca,
• funkcia \(F(x)\) je spojitá zľava a ak \(X\) je spojitá náhodná veličina, tak \(F(x)\) spojitá.
• Pre spojitú náhodnú veličinu \(X\) a pre každé  \(x\in \mathbb{R}\) platí: \(f^{'}(x)=F(x)\).

Číselné charakteristiky náhodnej veličiny

Dôležité informácie o náhodnej veličine môžu byť charakterizované aj pomocou jedného alebo viacerých čísel, ktoré nazývame číselnými charakteristikami náhodnej veličiny. Najznámejšími sú práve dve kategórie číselných charakteristík:

1. charakteristiky polohy - udávajú polohu daného rozdelenia a reprezentujú akýsi stred celého rozdelenia, okolo ktorého sa budú vyskytovať hodnoty náhodnej veličiny pri opakovaných pokusoch. Medzi takéto charakteristiky patria: stredná hodnota, medián a modus.

2. charakteristiky variability - určujú, či sa rozdelenia náhodných veličín odlišujú v rozsahu, kolísaní hodnôt, koncentráciou alebo rozptýlením (variabilitou). Medzi takéto charakteristiky patria: disperzia  (rozptyl) a smerodajná odchýlka.

Na nasledovnom obrázku  sú znázornené hustoty rôznych náhodných veličín. Náhodné veličiny s rovnakými strednými hodnotami a rôznymi disperziami, resp. s rôznymi strednými hodnotami a rovnakými disperziami.

Stredná hodnota náhodnej veličiny \(X\) - ak existuje, tak je to číslo \(E(X)\) definované vzťahom: 

• \(\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^{n\;(\infty)}x_i.p_i\) - pre diskrétnu náhodnú veličinu \(X\)
• \(\displaystyle E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x.f(x)dx\) - pre spojitú náhodnú veličinu \(X\)

Vlastnosti strednej hodnoty:

Nech \(X\) je náhodná veličina a nech \(a,\, b\) sú konštanty. Potom:

• \(E(a)=a\),
• \(E(aX+b)=aE(X)+b\),
• \(E\left(X-E(X)\right)=0\).

Modus náhodnej veličiny \(X\) - označujeme \(M_o(X)\) Pre diskrétnu náhodnú veličinu je definovaný ako najpravdepodobnejšia hodnota náhodnej veličiny; pre spojitú náhodnú veličinu ako ľubovoľný bod, v ktorom jej hustota nadobúda lokálne maximum.

Disperzia (rozptyl) náhodnej veličiny \(X\) - ak existuje, tak je to číslo \(D(X)\) a je definované ako stredná hodnota náhodnej veličiny \(\left( X-E(X)\right)^2\) t.j. \(\displaystyle D(X)=E\left[\left( X-E(X)\right)^2\right]\). V závislosti od typu náhodnej veličiny \(X\) definujeme \(D(X)\) vzťahom:

•  \(\displaystyle D(X)=\sum_{i=1}^{n\;(\infty)}(x_i-E(X))^2.p_i\) - pre diskrétnu náhodnú veličinu \(X\)
•  \(\displaystyle D(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^2.f(x)dx\) - pre spojitú náhodnú veličinu \(X\)

Vlastnosti disperzie:

Nech \(X\) je náhodná veličina a nech \(a,\, b\) sú konštanty. Potom:

• \(D(a)=0\),
• \(D(aX+b)=a^2.D(X)\),
• \(D(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2\) - na výpočet disperzie sa používa tento výpočtový vzťah.

Ak existuje disperzia \(D(X)\) náhodnej veličiny \(X\), tak smerodajná odchýlka náhodnej veličiny \(X\) je  číslo \(\sigma(X)\) definované predpisom \(\sigma(X)=\sqrt{D(X)}\).

Kvantilová funkcia  náhodnej veličiny \(X\) - je funkcia \(F^{-1}\) definovaná vzťahom \(F^{-1}(p)=\inf\{x; F(x)\geq p\}\)  pre \(0\lt p\lt 1\). Hodnoty \(F^{-1}(p)\) sa nazývajú 100.p % - né kvantily a označujeme ich \(x_p\).

Medián náhodnej veličiny \(X\) - kvantilová charakteristika Me\((X)\), ktorá zodpovedá \(50\)%-nému kvantilu. Inak povedané, medián je hodnota, ktorá interval možných hodnôt náhodnej veličiny rozdelí na dva rovnako pravdepodobné intervaly.