Beta rozdelenie

Spojitá náhodná veličina \(X\) má beta rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \(\alpha\gt 0\), \(\beta\gt 0\), ak jej hustota pravdepodobnosti \(f(x)\) má tvar: \[f(x)=\begin{cases}\frac{x^{\alpha-1}\,(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)},& \hbox{ pre }x\in(0,1)\\ 0, &\hbox{ inak},\end{cases}\] kde beta funkcia \(B(\alpha,\beta)\) je funkcia definovaná predpisom \[B(\alpha,\beta)=\frac{\varGamma(\alpha)\,\varGamma(\beta)}{\varGamma(\alpha+\beta)}=\int_0^1 x^{\beta-1}(1-x)^{\alpha-1}dx\]a stručne zapisujeme \(X\sim Be(\alpha,\beta)\).

Ak \(X\sim Be(\alpha,\beta)\), tak \[E(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta},\;\;\;\;D(X)=\frac{\alpha\,\beta}{(\alpha+\beta)^2\,(\alpha+\beta+1)},\] \[\nu=\sqrt{\frac{\beta}{\alpha(\alpha+\beta+1)}},\;\;\;\gamma_1=\frac{2(\beta-\alpha)}{\alpha+\beta+2}\,\sqrt{\frac{\alpha+\beta+1}{\alpha\beta}},\] \[\gamma_2=\frac{3(\alpha+\beta+1)\lfloor \alpha\beta(\alpha+\beta-6)+2(\alpha+\beta)^2\rfloor} {\alpha\beta(\alpha+\beta+2)(\alpha+\beta+3)}.\]

Parametre beta rozdelenia \(Be(\alpha,\beta)\) môžeme odhadnúť nasledujúcimi vzťahmi: \[\widehat{\alpha}=\overline{x}\left(\frac{\overline{x} (1-\overline{x})}{s^2}-1\right),\;\;\;\widehat{\beta}=(1-\overline{x})\left(\frac{\overline{x}(1-\overline{x} )}{s^2}-1\right).\]

• Ak \(\alpha=\beta=1\), tak \(Be(1,1)=R(0,1)\).
• Ak \(X\sim Be(\alpha,\beta)\), potom náhodná premenná \(Y=\frac{1-X}{X}\) má hustotu \[f(y)=\frac{y^{\beta-1}\,(1+y)^{-\alpha-\beta}}{B(\alpha,\beta)},\] pre \(\alpha\gt 0\), \(\beta\gt 0\) a predstavuje Pearsonovo rozdelenie typu IV.
• Ak \(X\sim Be(\alpha,\beta)\), potom náhodná premenná \[Y=\frac{\beta}{\alpha}\frac{1-X}{X}\sim F(2\alpha,2\beta).\]
• Ak \(X\sim F(\alpha,\beta)\), potom náhodná premenná \[Y=\frac{1}{1+\frac{\alpha}{\beta}X}\sim Be\left(\frac{\alpha}{2},\frac{\beta}{2}\right).\]
• Ak \(X\sim F(\alpha,\beta)\), potom náhodná premenná \[Y=\frac{\alpha\frac{X}{\beta}}{1+\alpha\frac{X}{\beta}}\sim Be\left(\frac{\alpha}{2},\frac{\beta}{2}\right).\]