Binomické rozdelenie

Binomickým rozdelením sa riadi počet výskytov \(X\) určitého javu \(A\) v \(n\) nezávislých pokusoch. V každom pokuse jav \(A\) nastane alebo nenastane.  Pravdepodobnosť nastatia javu \(A\) v každom jednotlivom pokuse je rovná tomu istému číslu \(p\) a náhodná veličina \(X\) vyjadruje, v koľkých pokusoch jav \(A\) nastal. Diskrétna  náhodná veličina \(X\) má binomické rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \(n\), \(p\), ak nadobúda hodnoty \(x=0,1,2,\dots, n\) s pravdepodobnosťami: \[P(X=x)=\binom{n}{x}\,p^x\,(1-p)^{n-x},\] kde \(p\in(0,1)\) a stručne zapisujeme \(X\sim Bi(n,p)\).

Ak \(X\sim Bi(n,p)\) a \(q=1-p\), tak \[E(X)=np,\;\;\;\;\widehat{x}\in\left< np-q;np+p\right>,\] \[D(X)=npq,\;\;\;\;\sigma(X)=\sqrt{npq},\] \[\gamma_1=\frac{1-2p}{\sqrt{npq}},\;\;\;\gamma_2=\frac{1-6pq}{npq},\] \[F(x)=P(X\lt x)=\sum_{k\lt x} \binom{n}{k}\,p^k\,q^{n-k}\;,\hbox{ pre }x\in \mathbb{R}.\]

Pre veľké \(n\) môžeme binomické rozdelenie \( Bi(n,p)\) aproximovať normálnym rozdelením \( N(\mu,\sigma^2)\) s parametrami \(\mu=np\), \(\sigma^2=np(1-p)\) a s doporučením použitia korekcie pre spojitosť

\[P(a\leq X\leq b)\approx P\left(\frac{a-0,5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq \frac{X-\mu}{\sigma}\leq \frac{a+0,5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right).\]

Alternatívne rozdelenie  je špeciálnym prípadom binomického rozdelenia pre \( n=1\), t.j. \( A(p)=Bi(1,p)\).