\(\chi^2\) - rozdelenie

Spojitá náhodná veličina \(X\) má  \(\chi^2\) - rozdelenie  s  \(k\)  stupňami voľnosti, kde \(k\in\mathbb{N}\),  ak jej hustota pravdepodobnosti \(f(x)\) má tvar: \[f(x)=\frac{x^{\frac{k}{2}-1}\,e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\varGamma\left(\frac{k}{2}\right)},\hbox{ pre }x\gt 0\] a stručne zapisujeme \(X\sim \chi^2(k)\).

Ak \(X\sim \chi^2(k)\), tak \[E(X)=k,\;\;\;D(X)=2k,\;\;\;\widehat{x}=k-2,\] \[\gamma_1=\sqrt{\frac{8}{k}},\;\;\; \gamma_2=\sqrt{\frac{12}{k}}.\]

Kritické hodnoty \(\chi^2\) - rozdelenia  sú dôležitou súčasťou pri hľadaní intervalových odhadov neznámych parametrov základného súboru a pri testovaní viacerých štatistických hypotéz. Pre \(X\sim \chi^2(k)\) je  kritickou hodnotou  náhodnej premennej \(X\) hodnota \(\chi^2_\alpha(k)\), pre ktorú platí: \[P(X\gt  \chi^2_{\alpha}(k))=\int_{\chi^2_{\alpha} (k)} ^{\infty}f(x)dx=\alpha.\] Kritické hodnoty získame zo štatistických tabuliek pre \(\chi^2\) -  rozdelenie alebo prostredníctvom vhodného matematického softwéru.

• Ak \(X\sim N(0,1)\) a \(Y=X^2\), tak  \(Y\sim \chi^2(1)\).
• Ak \(X_i\sim N(0,1)\) sú nezávislé pre \(i=1,2,\dots,k\) a \(\displaystyle Y=\sum_{i=1}^k X_i^2\), tak  \( Y\sim \chi^2(k)\).
• Pre \(k\gt 30\) a  \(X\sim N(0,1)\) môžeme \(\chi^2\) - rozdelenia aproximovať \(\displaystyle\chi^2\approx\frac{1}{2}\left(\sqrt{2k-1}+X\right)^2\).
• Ak \(X_1\sim \chi^2(k_1)\) a  \(X_2\sim \chi^2(k_2)\)  sú nezávislé a \(\displaystyle Y=\frac{\frac{X_1}{k_1}}{\frac{X_2}{k_2}}\), tak \(Y\sim F(k_1,k_2)\).