Poissonovo rozdelenie

Poissonovým rozdelením sa riadi počet udalostí za časovú jednotku, resp. v určitom časovom intervale, počet častíc v jednotke plochy alebo objemu. Pravdepodobnosť nastatia javu \(A\) počas danej jednotky času je rovnaká pre všetky jednotky, a tak priemerný počet nastatí náhodného javu  \(A\) v danej jednotke označujeme \(\lambda\), čo reprezentuje strednú hodnotu počtu týchto udalostí. Diskrétna náhodná veličina \(X\) má Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti s parametrom \(\lambda\gt 0\), ak nadobúda hodnoty \(x=0,1,2,\dots\) s pravdepodobnosťami: \[P(X=x)=\frac{\lambda ^x.e^{-\lambda}}{x!}\] a stručne zapisujeme \(X\sim Po(\lambda)\).

Ak \(X\sim Po(\lambda)\), tak \[E(X)=\lambda,\;\;D(X)=\lambda,\;\;\sigma(X)=\sqrt{\lambda},\] \[F(x)=P(X\lt x)=\sum_{k\lt x}\frac{\lambda ^k.e^{-\lambda}}{k!}\;,\hbox{ pre }x\in \mathbb{R}.\]

Pre \(n\gt 30\) a \(p\lt 0,1\) môžeme binomické rozdelenie \(X\sim Bi(n,p)\) aproximovať Poissonovým rozdelením  \(X\sim Po(\lambda)\) s parametrom \(\lambda=np\).

Pomocou Poissonovho rozdelenia môžeme taktiež modelovať počet udalostí, ktoré nastali v časovom intervale \(\left(0,t\right>\). Takéto rozdelenie nazývame Simeonovo-Poissonovo rozdelenie a hodnoty \(x=0,1,2,\dots\)  nadobúda s pravdepodobnosťami: \[P(X=x)=\frac{(rt) ^x.e^{-rt}}{x!}.\]