Trojuholníkové rozdelenie

Spojitá náhodná veličina \(X\) má trojuholníkové rozdelenie pravdepodobnosti (rozdelenie Simpsona) s parametrami \(a\), \(b\), resp. na intervale \(\left<a,b \right>\), ak jej hustota pravdepodobnosti \(f(x)\) má tvar: \[f(x)=\begin{cases}\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)},& \hbox{ pre }x\in\left<a,c\right>\\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}, &\hbox{ pre }x\in\left(c,b\right>,\end{cases}\] kde \(a\lt c\lt b\)  a stručne zapisujeme \(X\sim Tri(a,b,c)\).

Ak \(X\sim Tri(a,b,c)\), tak \[E(X)=\frac{a+b+c}{3},\;\;\;\;D(X)=\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18},\;\;\;\;\widehat{x}=c,\]  \[F(x)=\begin{cases}\frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)},& \hbox{ pre }x\in\left<a,c\right>\\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)}, &\hbox{ pre }x\in\left(c,b\right>.\end{cases}\]

V praxi sa častokrát stretávame s trojuholníkovým rozdelením \(Tri(a,b,c)\) s parametrom  \(c=\frac{a+b}{2}\). V takomto prípade hustota pravdepodobnosti \(f(x)\) má tvar: \[f(x)=\begin{cases}\frac{2}{b-a}-\frac{2}{(b-a)^2}\left|a+b-2x\right|,& \hbox{ pre }x\in\left<a,b\right>\\ 0, &\hbox{ inak }\end{cases}\] a charakteristiky:  \[E(X)=\frac{a+b}{2},\;\;\;\;D(X)=\frac{(b-a)^2}{24}.\] 

Ak \(X,Y\sim R\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)\) sú nezávislé, tak \(Z=X+Y\sim Tri(a,b)\).